Función techo

En matemática, las funciones de parte entera son funciones que toman un número real y devuelven un número entero próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:

Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:

Un concepto relacionado con estas funciones es la parte fraccionaria, cuya representación es la de una onda de sierra.

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:

Definida:

O de otra forma:

${displaystyle xin mathbb {Z} Leftrightarrow lceil x ceil =x}$

${displaystyle int _{epsilon }^{x+epsilon }delta (1-chi _{mathbb {Z} }(y))dy=lceil x ceil ,qquad 0<epsilon <1}$

Estas funciones no son algebraicas ni trascendentes, por lo que son funciones no elementales^[1]​

Para un número real no entero:

Para un número entero:

La función suelo se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero y no superior a x:

que se define:

Se conoce también como función máximo entero^[2]​

Que se puede expresar:

El número real x al que se aplica la función suelo es un número entero si y sólo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.

Podemos deducir que si m y n son números enteros estrictamente positivos coprimos entonces (fórmula de Sylvester):

La fórmula anterior puede ser generalizada para todo m y n enteros estrictamente positivos:^[3]​

Para un número real no entero:

Para un número entero:

La función parte entera en el lenguaje de programación C es el resultado de truncar el valor real, eliminando su parte decimal. Se puede definir a partir de las funciones piso^[4]​ y techo,^[5]​ de la siguiente manera:

definida de esta forma:

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

La función redondeo asigna a cada x número real un y número entero siendo y el valor más próximo a x.

si la primera cifra decimal es 5 o mayor el redondeo se hace por exceso, si la primera cifra decimal es inferior a 5 el redondeo se hace por defecto.

Se puede comprobar la siguiente igualdad:

La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función ${displaystyle {x}:=x-lfloor x floor }$, llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica,^[6]​ y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:

Usando la expresión ${displaystyle {x}:=x-lfloor x floor }$ podemos saber la expansión de la función ${displaystyle lfloor x floor }$:

Teniendo en cuenta que: ${displaystyle lceil x ceil =-lfloor -x floor }$, entonces la expansión de serie de la función techo sería:

Y por último, para la función truncamiento, se utiliza la siguiente expresión ${displaystyle {mbox{int}}(x)={ig lfloor }|x|{ig floor }operatorname {sgn}(x)}$; entonces quedaría:

---