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Función techo



En matemática, las funciones de parte entera son funciones que toman un número real y devuelven un número entero próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:

Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:

Un concepto relacionado con estas funciones es la parte fraccionaria, cuya representación es la de una onda de sierra.

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:

Definida:

O de otra forma:

Estas funciones no son algebraicas ni trascendentes, por lo que son funciones no elementales[1]

Para un número real no entero:

Para un número entero:

La función suelo se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero y no superior a x:

que se define:

Se conoce también como función máximo entero[2]

Que se puede expresar:

El número real x al que se aplica la función suelo es un número entero si y sólo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.

Podemos deducir que si m y n son números enteros estrictamente positivos coprimos entonces (fórmula de Sylvester):

La fórmula anterior puede ser generalizada para todo m y n enteros estrictamente positivos:[3]

Para un número real no entero:

Para un número entero:

La función parte entera en el lenguaje de programación C es el resultado de truncar el valor real, eliminando su parte decimal. Se puede definir a partir de las funciones piso[4]​ y techo,[5]​ de la siguiente manera:

definida de esta forma:

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

La función redondeo asigna a cada x número real un y número entero siendo y el valor más próximo a x.

si la primera cifra decimal es 5 o mayor el redondeo se hace por exceso, si la primera cifra decimal es inferior a 5 el redondeo se hace por defecto.

Se puede comprobar la siguiente igualdad:

La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función , llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica,[6]​ y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:

Usando la expresión podemos saber la expansión de la función :

Teniendo en cuenta que: , entonces la expansión de serie de la función techo sería:

Y por último, para la función truncamiento, se utiliza la siguiente expresión ; entonces quedaría:



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