Geometría diferencial de curvas

En matemáticas, la geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Euclídeo.

Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase ${displaystyle C^{2}(mathrm {I} ),}$), en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ y dado su vector de posición ${displaystyle mathbf {r} (t)}$ expresado mediante el parámetro t;

se define el llamado parámetro de arco s como:

La cual se puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:

donde

son las relaciones entre las dos parametrizaciones.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raíz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.

Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

${displaystyle mathbf {T} (s)={frac {d{ ilde {mathbf {r} }}(s)}{ds}}qquad mathbf {N} (s)={frac {1}{chi }}{frac {dmathbf {T} (s)}{ds}}qquad mathbf {B} (s)={frac {1}{ au }}left({frac {dmathbf {N} (s)}{ds}}+chi mathbf {T} ight)}$

Donde los parámetros χ y τ anteriores designan respectivamente a la curvatura y a la torsión.

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia este a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:

Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsión viene dada por:

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce a:

En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene a su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partícula desplazándose en el espacio tridimensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleración y la velocidad. La ecuación de este plano viene dada por:^[1]​

${displaystyle det {egin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\x'_{0}&y'_{0}&z'_{0}\x''_{0}&y''_{0}&z''_{0}end{vmatrix}}=0}$

Donde:

Si se tiene una partícula en la posición ${displaystyle mathbf {x} _{p}}$, moviéndose con velocidad ${displaystyle mathbf {v} }$ y sometida a una aceleración ${displaystyle mathbf {a} eq mathbf {0} }$ el plano osculador viene dado por el conjunto de puntos:

${displaystyle (mathbf {v} imes mathbf {a} )cdot (mathbf {x} -mathbf {x} _{p})=0}$

Obviamente si la partícula tiene un movimiento rectilíneo el plano osculador no está definido.

En un entorno de un punto de una curva puede ser aproximado por un círculo, llamado círculo osculador por estar contenido en el plano osculador. El radio del círculo osculador coincide con el radio de curvatura (inverso de la curvatura). El centro de dicho círculo puede buscarse como:

${displaystyle mathbf {r} _{c}(t)=mathbf {r} (t)-{frac {|mathbf {r} '(t)|^{2}(mathbf {r} '(t)cdot mathbf {r} ''(t))}{|mathbf {r} '(t) imes mathbf {r} ''(t)|^{2}}}mathbf {r} '(t)+{frac {|mathbf {r} '(t)|^{4}}{|mathbf {r} '(t) imes mathbf {r} ''(t)|^{2}}}mathbf {r} ''(t)}$

O más sencillamente en función del parámetro de arco como:

${displaystyle mathbf { ilde {r}} _{c}(s)=mathbf { ilde {r}} (s)+{frac {mathbf { ilde {r}} ''(s)}{|mathbf { ilde {r}} ''(s)|^{2}}}}$

El teorema fundamental de curvas que enunciamos a continuación nos dice que conocido un punto de una curva y su vector tangente, la curva queda totalmente especificada si se conoce la función de curvatura y de torsión. Su enunciado es el siguiente:

Sea ${displaystyle Jsubset mathbb {R} }$ un intervalo. Dadas dos funciones continuas χ y τ de ${displaystyle J,}$ en ${displaystyle mathbb {R} }$ y dado un sistema de referencia fijo (ortonormal) de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, {x₀; e₁, e₂, e₃}, entonces existe una única curva parametrizada de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, ${displaystyle mathbf {x} :J o mathbb {R} ^{3}}$ y tales que:

${displaystyle {egin{cases}{cfrac {dmathbf {x} (s)}{ds}}=mathbf {T} (s)&{cfrac {dmathbf {T} (s)}{ds}}=chi (s)mathbf {N} (s)\{cfrac {dmathbf {N} (s)}{ds}}=-chi (s)mathbf {T} (s)+ au (s)mathbf {B} (s)&{cfrac {dmathbf {B} (s)}{ds}}=- au (s)mathbf {N} (s)end{cases}}}$

O bien escrito matricialmente

${displaystyle {egin{bmatrix}{dot {T}}\{dot {N}}\{dot {B}}\end{bmatrix}}={egin{bmatrix}0&chi &0\-chi &0& au \0&- au &0\end{bmatrix}}{egin{bmatrix}T\N\B\end{bmatrix}}}$

donde el punto es la derivada con respecto al arcoparámetro s.

Esto tiene implicaciones físicas interesantes, por ejemplo, la trayectoria de una partícula queda especificada si se conocen la posición inicial, la velocidad inicial y la variación en el tiempo de las derivadas segundas (que están relacionadas con la curvatura y la torsión). Es por eso por lo que las leyes de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange se expresan en términos de derivadas de segundo orden (que es necesario complementar con la posición y velocidades iniciales).