Gradiente de velocidad

La velocidad de deformación es una magnitud que mide el cambio de deformación respecto al tiempo. Para problemas uniaxiales es simplemente la derivada temporal de la deformación longitudinal, mientras que para problemas o situaciones tridimensionales se representa por un tensor de segundo rango.

Dado una barra recta o prisma mecánico que sufre deformaciones sólo a largo de su eje longitudinal la velocidad de deformación se define como la derivada temporal de la deformación uniaxial:

${displaystyle {dot {varepsilon }}={frac {dvarepsilon }{dt}}={frac {d}{dt}}left({frac {dU(X,t)}{dX}} ight)={frac {d}{dX}}left({frac {dU(X,t)}{dt}} ight)={frac {d{dot {U}}(X,t)}{dX}}}$

Donde:

La fórmula anterior expresa que la velocidad de deformación coincide como el gradiente del campo de velocidades de desplazamiento.

Dado un medio continuo (sólido deformable o fluido) cuyas ecuaciones de movimiento se expresan en la forma:

${displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} (mathbf {R} ;t)qquad {egin{cases}x=x(X,Y,Z;t)\y=y(X,Y,Z;t)\z=z(X,Y,Z;t)end{cases}}}$

El tensor gradiente espacial de la velocidad viene dado por:

${displaystyle mathbf {l} =mathbf {v} otimes {oldsymbol { abla }}={frac {partial mathbf {v} }{partial mathbf {r} }},qquad l_{j}^{i}={frac {partial v^{i}}{partial x^{j}}}}$

La parte simétrica de este tensor es precisamente el tensor velocidad de deformación:

${displaystyle mathbf {d} ={frac {1}{2}}left(mathbf {v} otimes {oldsymbol { abla }}+{oldsymbol { abla }}otimes mathbf {v} ight),qquad d_{j}^{i}={frac {1}{2}}left({frac {partial v^{i}}{partial x^{j}}}+{frac {partial v^{j}}{partial x^{i}}} ight)={frac {1}{2}}left(l_{j}^{i}+l_{i}^{j} ight)}$

La derivada temporal del tensor deformación de Green-Lagrange se relaciona con el tensor de velocidad de formación (${displaystyle mathbf {d} }$) y el gradiente de deformación (${displaystyle mathbf {F} }$) mediante la siguiente relación:^[1]​

${displaystyle {dot {mathbf {E} }}=mathbf {F} ^{T}mathbf {d} mathbf {F} ,qquad {dot {E}}_{I}^{J}=sum _{m,k}F_{I}^{m}d_{m}^{k}F_{k}^{J}}$

Para el tensor deformación de Almansi se tiene la relación:^[2]​

${displaystyle {dot {mathbf {e} }}=mathbf {d} -mathbf {l} ^{T}mathbf {e} -mathbf {e} mathbf {l} ,qquad {dot {e}}_{i}^{j}=d_{i}^{j}-l_{i}^{m}e_{m}^{j}-e_{i}^{m}l_{m}^{j}}$

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