Grado de coherencia

En óptica cuántica, las funciones de correlación se utilizan para caracterizar las propiedades estadísticas y de coherencia de un campo electromagnético. El grado de coherencia es la correlación normalizada de campos eléctricos. En su forma más sencilla, denotado ${displaystyle g^{(1)}}$, es útil para cuantificar la coherencia entre dos campos eléctricos, cuando se miden en un interferómetro de Michelson o cualquier otro interferómetro óptico lineal. La correlación entre pares de campos, ${displaystyle g^{(2)}}$, se utiliza típicamente para conocer el carácter estadístico de fluctuaciones de intensidad. La correlación de primer orden es de hecho la correlación amplitud-amplitud y la de segundo orden es la correlación de intensidad-intensidad. También se utiliza para diferenciar entre estados de luz que requieren una descripción cuántica y aquellos para los que los campos clásicos son suficientes. Consideraciones análogas son aplicables a cualquier campo de Bose en física subatómica, en particular a mesones (cf. correlaciones de Bose–Einstein).

La función de correlación de primer orden normalizada se escribe como

donde ${displaystyle {displaystyle langle cdots angle }}$ denota un promedio estadístico sobre ensembles. Para estados no estacionarios, como pulsos, el ensemble está hecho de muchos pulsos. Cuando uno trata con estados estacionarios, donde las propiedades estadísticas no cambian con el tiempo, uno puede reemplazar el promedio sobre realizaciones por un promedio temporal. Si nos restringimos a ondas planas paralelas entonces ${displaystyle {displaystyle mathbf {r} =z}}$ . En este caso, el resultado para los estados estacionarios no dependerá de ${displaystyle t_{1}}$, solo de la diferencia de tiempos ${displaystyle {displaystyle au }=t_{1}-t_{2}}$(o ${displaystyle au =t_{1}-t_{2}}$${displaystyle au =t_{1}-t_{2}-{frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}$${displaystyle z_{1} eq z_{2}}$)

Esto nos permite escribir una forma simplificada

donde el promedio es ahora sobre {displaystyle t}.

En interferómetros ópticos tales como el interferómetro Michelson, el Mach–Zehnder o el Sagnac, uno divide un campo eléctrico en dos componentes, introduce un retraso de tiempo a una de las componentes y entonces las recombina. La intensidad de campo resultante está medida como función de esta diferencia de tiempos. En este caso concreto que involucra dos intensidades de entrada iguales, la visibilidad del patrón de interferencia resultante está dada por:^[1]​

donde la segunda expresión implica evaluar el campo en dos puntos del espacio-tiempo diferentes. El rango de visibilidad va de cero, para campos eléctricos incoherentes, a uno, para campos eléctricos coherentes. Cualquier situación intermedia se define como parcialmente coherente.

Generalmente,

${displaystyle g^{(1)}(0)=1}$ y ${displaystyle g^{(1)}( au )=g^{(1)}(- au )^{*}}$.

Para luz de una sola frecuencia (p. ej. luz de láser): ${displaystyle g^{(1)}( au )=e^{-iomega _{0} au }}$

Para luz caótica Lorentziana (p. ej. amplificada por colisión): ${displaystyle g^{(1)}( au )=e^{-iomega _{0} au -(| au |/ au _{c})}}$

Para luz caótica Gaussiana (p. ej. amplificada por Doppler): ${displaystyle g^{(1)}( au )=e^{-iomega _{0} au -{frac {pi }{2}}( au / au _{c})^{2}}}$

Aquí, ${displaystyle omega _{0}}$es la frecuenia central de la luz y ${displaystyle au _{c}}$es el tiempo de coherencia de la luz.

La función de correlación de segundo orden normalizada se escribe como

Nota que esto no es una generalización de la coherencia de primer orden.

Si los campos eléctricos se pueden considerar como clásicos, podemos reordenarlos para expresar ${displaystyle g^{(2)}}$en términos de intensidades. Una onda paralela plana en un estado estacionario verificará

La expresión anterior es par, esto es ${displaystyle g^{(2)}( au )=g^{(2)}(- au )}$. Para campos clásicos, uno puede aplicar la desigualdad de Cauchy–Schwarz a las intensidades de la expresión anterior (dado que son números reales ) para mostrar que

${displaystyle 1leq g^{(2)}(0)leq infty }$y que ${displaystyle g^{(2)}( au )leq g^{(2)}(0)}$. No obstante, la coherencia de segundo de orden para un promedio sobre franjas de salidas complementarias de un interferómetro para un estado coherente es solo 0.5 (incluso aunque ${displaystyle g^{(2)}=1}$Para cada salida). Y ${displaystyle g^{(2)}}$(calculado mediante promedio) puede ser reducido hasta cero con una discriminación apropiada del nivel de "trigger" aplicada a la señal (dentro del rango de coherencia).

Luz caótica de todo tipo: ${displaystyle g^{(2)}( au )=1+|g^{(1)}( au )|^{2}}$. Notar que el efecto Hanbury Brown y Twiss utiliza este hecho para encontrar ${displaystyle |g^{(1)}( au )|}$de una medida de ${displaystyle g^{(2)}( au )}$.

Luz de una sola frecuencia: ${displaystyle g^{(2)}( au )=1}$

Véase también el antibunching de fotones para otro uso de ${displaystyle g^{(2)}}$ donde ${displaystyle g^{(2)}(0)=0}$ para una fuente de un único fotón porque

donde ${displaystyle n}$es el observable de número de fotones.^[2]​

Una generalización de la coherencia de primer orden:

Una generalización de la coherencia de segundo orden:

Luz de una sola frecuencia:

Utilizando la primera definición: Luz caótica de todo tipo: ${displaystyle g^{(n)}(infty )=0}$

Utilizando la segunda definición: Luz caótica de todo tipo: ${displaystyle g^{(n)}(infty )=1}$Luz caótica de todo tipo: ${displaystyle g^{(n)}(0)=n!}$

Las predicciones de ${displaystyle g^{(n)}}$para n > 1 cambiqn cuando los campos clásicos (números complejos o c-números) se reemplazan con campos cuánticos (operadores o q-números). En general, los campos cuánticos no conmutan necesariamente, con la consecuencia de que su orden en los productos de las expresiones de arriba no puede ser intercambiado.

Con

obtenemos en el caso de luz estacionaria

La luz se dice "buncheada" si ${displaystyle g^{(2)}( au )<g^{(2)}(0)}$y "antibuncheada" si ${displaystyle g^{(2)}( au )>g^{(2)}(0)}$