Grafo dirigido

Un grafo dirigido o digrafo es un tipo de grafo en el cual las aristas tienen un sentido definido,^[1]​ a diferencia del grafo no dirigido, en el cual las aristas son relaciones simétricas y no apuntan en ningún sentido.

A veces un digrafo es denominado digrafo simple para distinguirlo del caso general del multigrafo dirigido, donde los arcos constituyen un multiconjunto, en lugar de un conjunto. En este caso, puede haber más de un arco que una dos vértices en la misma dirección, distinguiéndose entre sí por su identidad, por su tipo (por ejemplo un tipo de arco representa relaciones de amistad mientras que el otro tipo representa mensajes enviados recientemente entre los nodos), o por un atributo como por ejemplo su importancia o peso. A menudo también se considera que en un digrafo simple no están permitidos los bucles.

Al igual que en el grafo generalizado, el grafo dirigido está definido por un par de conjuntos ${displaystyle G=(V,E)}$, donde:

Un arco ${displaystyle e=(x,y)}$ se considera dirigido desde ${displaystyle x}$ hacia ${displaystyle y}$. Otra notación válida es ${displaystyle e=<x,y>}$. En ambos casos, el vértice ${displaystyle x}$ cumple un rol de «emisor» y el vértice ${displaystyle y}$ uno de «receptor».^[2]​

Sea ${displaystyle n=|V|}$ el número de nodos de un grafo dirigido, este podrá a lo más tener ${displaystyle n^{2}}$ aristas, y ${displaystyle n(n-1)}$ en caso de que se excluyan los bucles.^[3]​

Si existe un camino compuesto de uno o más arcos que una x con y, entonces a y se le denomina sucesor de x, al igual que a x se le denomina predecesor de y. Dada una arista (x,y), el vértice y se denomina también un sucesor directo de x; correspondientemente, se denomina a x un predecesor directo de y.

Al arco ${displaystyle (y,x)}$ se le denomina arco invertido de ${displaystyle (x,y)}$.

Un grafo dirigido G es llamado simétrico si, para cualquier arco que pertenece a G, el arco invertido correspondiente también pertenece a G. Un grafo dirigido simétrico y sin bucles es equivalente a un grafo no dirigido; basta con reemplazar cada par de arcos dirigidos por un solo arco no dirigido.

Una orientación de un grafo simple no dirigido se obtiene al asignar una orientación a cada uno de los arcos existentes. Un grafo dirigido construido de esta manera se denomina un grafo orientado. Una manera de distinguir entre un grafo simple dirigido y un grafo orientado es que si x e y son vértices, un grafo simple dirigido permite tanto ${displaystyle (x,y)}$ como ${displaystyle (y,x)}$ entre sus arcos, mientras que solo una de las dos posibilidades es admitida en un grafo orientado.^[4]​^[5]​

Un digrafo ponderado es un digrafo en el que existen pesos asociados a cada uno de los arcos, de manera análoga al grafo ponderado. Un digrafo ponderado en el contexto de la teoría de grafos es denominado una red.

La matriz de adyacencia de un digrafo (con bucles y arcos múltiples permitidos) es una matriz compuesta por valores enteros, donde los índices de columnas y filas se corresponden con las identidades de los vértices ${displaystyle V}$. Un elemento de esta matriz, ${displaystyle a_{ij}}$ representa el número de arcos existentes entre los nodos i y j. Un elemento en la diagonal de esta matriz, ${displaystyle a_{ii}}$ representa el número de bucles que existen en el nodo i. La matriz de adyacencia de un digrafo es una representación única del digrafo, exceptuadas posibles permutaciones de las filas y columnas.

Otra representación común de un digrafo es la matriz de incidencia.

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