Imagen de una función

En matemáticas, la imagen, campo de valores o rango de una función ${displaystyle fcolon X o Y,}$, también llamada la imagen de ${displaystyle X}$ bajo ${displaystyle f}$, es el conjunto contenido en ${displaystyle Y}$ formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

Se puede denotar como ${displaystyle { m {{im}(f),}}}$, ${displaystyle f(X)}$, ${displaystyle operatorname {Im} _{f},}$ o bien ${displaystyle I_{f},}$ y formalmente está definida por:

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si ${displaystyle f:A o B}$ es una función, entonces la imagen del elemento ${displaystyle ain A}$ es el elemento ${displaystyle f(a)in B}$.

Es importante diferenciar el concepto de codominio del concepto de conjunto imagen.

Si ${displaystyle f:X o Y}$ es una función, al conjunto ${displaystyle Y}$ se le conoce como codominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma.

Por ejemplo, la función ${displaystyle f:mathbb {R} o mathbb {R} , f(x)=x^{2}}$ tiene por codominio el conjunto ${displaystyle mathbb {R} }$ (todos los números reales), pero como ${displaystyle x^{2}}$ nunca toma valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos y se representa con el conjunto:

${displaystyle operatorname {Im} _{f}={xin mathbb {R} :xgeq 0}}$

En general, el conjunto imagen es un subconjunto del codominio, y cuando el rango coincide con el codominio se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva.