Imagen inversa

La imagen inversa, antiimagen o contraimagen de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto.^[1]​ Es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.

Sea ${displaystyle extstyle f:{mbox{A}}longrightarrow {mbox{B}}}$ una aplicación e ${displaystyle extstyle {mbox{Y}}subset {mbox{B}}}$. La imagen inversa de ${displaystyle extstyle Y}$ se define como sigue:

${displaystyle f^{-1}(Y)quad =quad lbrace quad xin Aquad |quad exists yin Yquad ,quad f(x)=yquad brace }$

La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:

${displaystyle forall Y,Zsubset {mbox{B}}quad f^{-1}({mbox{Y}}cup {mbox{Z}})=f^{-1}({mbox{Y}})cup f^{-1}({mbox{Z}})}$

${displaystyle forall Y,Zsubset {mbox{B}}quad f^{-1}({mbox{Y}}cap {mbox{Z}})=f^{-1}({mbox{Y}})cap f^{-1}({mbox{Z}})}$

${displaystyle forall Ysubset {mbox{B}}quad f^{-1}({mbox{B}}-{mbox{Y}})={mbox{A}}-f^{-1}({mbox{Y}})}$

${displaystyle forall {mbox{Y}},{mbox{Z}}subset {mbox{B}}quad f^{-1}({mbox{Y}}-{mbox{Z}})=f^{-1}({mbox{Y}})-f^{-1}({mbox{Z}})}$

La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.