Implicación material

En lógica proposicional, la implicación material^[1]​^[2]​ o definición del condicional^[3]​ es una regla de reemplazo válida que permite que una declaración condicional sea sustituida por una disyunción si y solo si el antecedente es negado. La regla establece que P implica Q es lógicamente equivalente a no-P o Q y puede sustituir a otra en demostraciones lógicas.

Donde "${displaystyle leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una demostración con."

La regla de implicación material puede escribirse en la notación subsiguiente:

donde ${displaystyle vdash }$ es un símbolo metalógico que significa que ${displaystyle eg Plor Q}$ es una consecuencia sintáctica de ${displaystyle (P o Q)}$ en algún sistema lógico;

y expresado como una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

donde la regla es que cada vez que en las líneas de una demostración aparezcan las instancias de "${displaystyle P o Q}$", éstas pueden ser reemplazadas con "${displaystyle eg Plor Q}$".

y expresado como una tautología o teorema de la lógica proposicional.

donde ${displaystyle P}$ y ${displaystyle Q}$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

donde ${displaystyle P}$ es la declaración "es un oso" y ${displaystyle Q}$ es la declaración "este puede nadar".

Si se encontró que el oso no sabía nadar, escrito simbólicamente como ${displaystyle Pland eg Q}$, entonces ambas frases son falsas, pero de lo contrario son ambas verdaderas.