Integral de la secante cúbica

La integral de la secante cúbica dada por

es una integral frecuente y desafiante en Cálculo Integral.

Hay varias razones por las que esta integral en particular es digna para prestarle atención:

donde ${displaystyle ain mathbb {R} }$ es una constante.

La integral de la secante cúbica puede ser hallada por el método de integración por partes, en un principio se considera la igualdad:

Y se procede por el método de integración por partes considerando que

Entonces

Si sumamos ${ extstyle int sec ^{3}(x)dx}$ a ambos lados de la igualdad y dado que

obtenemos

Por lo tanto

Consideremos que

donde ${displaystyle u=operatorname {sen} x}$, de modo que ${displaystyle du=cos x,dx}$.

Esta sustitución admite una descomposición por fracciones parciales como sigue

entonces

Si utilizamos linealidad de la integral entonces

Integrales de la forma

con ${displaystyle m,nin mathbb {Z} ^{+}}$ pueden ser reducidas utilizando la identidad trigonométrica ${displaystyle sec ^{2}(x)- an ^{2}(x)=1}$ si ${displaystyle n}$ es par o ${displaystyle n}$ y ${displaystyle m}$ son ambos impares. Si ${displaystyle n}$ es impar y ${displaystyle m}$ es par, las sustituciones hiperbólicas suelen ser usadas para evitar el uso del método de integración por partes, para así sólo reducir potencias de funciones hiperbólicas.

Dado que

${displaystyle {egin{aligned}sec(x)&=cosh(u)\[6pt] an(x)&=sinh(u)\[6pt]end{aligned}}}$

entonces

Nótese que ${ extstyle int sec x,dx=ln |sec x+ an x|}$ se sigue directamente de esta sustitución.

Si se desea calcular

para ${displaystyle kgeq 2}$ con ${displaystyle kin mathbb {Z} ^{+}}$, se sigue un proceso similar al cálculo de la integral de la secante cúbica, es decir, se utiliza integración por partes para reducir la potencia, el único problema es que si por ejemplo, deseamos calcular la integral de la secante elevada a la quinta potencia, en un momento necesitaremos calcular la integral de la secante cúbica.

Se desea calcular

Comencemos considerando que

Y procedemos por el método de integración por partes considerando que

Entonces

Uno puede demostrar utilizando integración por partes que la fórmula de reducción para la función secante está dada por:

para ${displaystyle ngeq 2}$ o alternativamente