Integral de superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Sean ${displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{3}}$ una superficie parametrizada por ${displaystyle mathbf {Phi } :Dsubset mathbb {R} ^{2} ightarrow mathbb {R} ^{3}}$ y ${displaystyle f:S ightarrow mathbb {R} }$ un campo escalar continuo, se define la integral de superficie del campo escalar ${displaystyle f}$ sobre ${displaystyle S}$ como

En particular, cuando ${displaystyle f=1}$ entonces obtenemos el área de la superficie ${displaystyle S}$, esto es

Sean ${displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{3}}$ una superficie parametrizada por ${displaystyle mathbf {Phi } :Dsubset mathbb {R} ^{2} ightarrow mathbb {R} ^{3}}$ y ${displaystyle mathbf {F} :S ightarrow mathbb {R} ^{3}}$ un campo vectorial continuo, se define la integral de superficie del campo vectorial ${displaystyle mathbf {F} }$ sobre ${displaystyle S}$ como

Para una superficie orientada suave ${displaystyle S}$ y una parametrización ${displaystyle mathbf {Phi } }$ de ${displaystyle S}$, si

es un vector unitario normal que apunta hacia el exterior de ${displaystyle S}$ entonces

donde ${displaystyle f=mathbf {F} cdot mathbf {n} }$, por lo tanto