Lógica infinitaria

Una lógica infinita es una lógica que permite declaraciones infinitamente largas y / o pruebas infinitamente largas. Algunas lógicas infinitarias pueden tener diferentes propiedades que las de la lógica estándar de primer orden. En particular, las lógicas infinitarias pueden no ser compactas o completas. Las nociones de compacidad e integridad que son equivalentes en la lógica finitaria a veces no lo son en las lógicas infinitas. Por lo tanto, para las lógicas infinitarias, se definen las nociones de compacidad fuerte y completitud fuerte. Este artículo abordará las lógicas infinitarias de tipo Hilbert, ya que han sido ampliamente estudiadas y constituyen las extensiones más directas de la lógica finitaria. Sin embargo, estas no son las únicas lógicas infinitarias que se han formulado o estudiado.

A medida que presentamos un lenguaje con fórmulas infinitamente largas, no es posible escribir explícitamente estas fórmulas. Para evitar este problema, se utilizan varias utilidades de registro, que estrictamente hablando, no forman parte del lenguaje formal.« ${displaystyle cdots }$ » se usa para enfatizar una expresión infinitamente larga. En el caso donde esta notación no es clara, la longitud de la secuencia se anota más adelante. Cuando esta notación se vuelve ambigua o confusa, sufijos como ${displaystyle lor _{gamma <delta }{A_{gamma }}}$ se utilizan para indicar una disyunción infinita en un conjunto de fórmulas de cardinalidad ${displaystyle delta }$. La misma notación se puede aplicar a Cuantificador, por ejemplo ${displaystyle forall _{gamma <delta }{V_{gamma }:}}$. Esto pretende representar una serie infinita de cuantificadores para cada ${displaystyle V_{gamma }}$ donde ${displaystyle gamma <delta }$.

Se asume el Axioma de elección (como se hace a menudo cuando se habla de lógica infinita), ya que esto es necesario para tener leyes sensibles de distributividad.

Una lógica infinita de primer orden L_α,β, α regular , β = 0 o ω ≤ β ≤ α, tiene el mismo conjunto de símbolos que una lógica finita y puede usar todas las reglas para formar fórmulas de una lógica infinitaria y lo siguiente:

Los conceptos de variable libre y afines se aplican por igual a las fórmulas infinitarias. Al igual que en la lógica finita, una fórmula a la que se vinculan todas las variables se denomina declaración.

Una teoría T en lógica infinitaria ${displaystyle L_{alpha ,eta }}$ es un conjunto de fórmulas. Una prueba en la lógica infinitaria de una teoría T es una secuencia de declaraciones de longitud ${displaystyle gamma }$ que obedece a las siguientes condiciones: Cada enunciado es un axioma lógico, un elemento de T o se deduce de enunciados anteriores utilizando una regla de inferencia. Como antes, se pueden usar todas las reglas de inferencia en la lógica finitaria, junto con una más:

Los diagramas de axiomas lógicos específicos de la lógica infinitaria se presentan a continuación. Variables de esquema globales: ${displaystyle delta }$ y ${displaystyle gamma }$ tel que ${displaystyle 0<delta <alpha }$.

Los últimos dos esquemas de axiomas requieren el axioma de elección porque algunos conjuntos deben estar bien ordenados. El último esquema de axioma es estrictamente inútil porque las leyes de distribución de Chang lo implican.

Una teoría es cualquier conjunto de declaraciones. La verdad de los enunciados en los modelos se define por recursión y coincidirá con la definición de lógica finitaria donde ambos se definen. Dada una teoría, se dice que una afirmación es válida para la teoría T si es verdadera en todos los modelos T.

Una lógica ${displaystyle L_{alpha ,eta }}$ es completa si para cada sentencia S válida en cada modelo de ella existe una prueba de S. Es fuertemente completa si para cualquier teoría T, para cada sentencia S válida en T existe una prueba de S proveniente de T. Una lógica infinitaria puede ser completa sin ser fuertemente completa.

Un cardinal ${displaystyle kappa eq omega }$ es un cardinal débilmente compacto cuando para cada teoría T en ${displaystyle L_{kappa ,kappa }}$ que contiene como máximo ${displaystyle kappa }$ fórmulas, si cada S ${displaystyle subseteq }$ T de cardinalidad menor que ${displaystyle kappa }$ tiene un modelo, entonces T tiene un modelo. Un cardinal ${displaystyle kappa eq omega }$ es un cardinal fuertemente compacto cuando para cada teoría T en ${displaystyle L_{kappa ,kappa }}$, sin restricción de tamaño, si cada S ${displaystyle subseteq }$ T de cardinalidad menor que ${displaystyle kappa }$ tiene un modelo, entonces T tiene un modelo.

En el lenguaje de la teoría de conjuntos, la siguiente declaración expresa regularidad:

A diferencia del axioma de regularidad, esta afirmación no admite interpretaciones no estándar.El concepto de bien fundado solo puede expresarse en una lógica que permite un número infinito de cuantificadores en una declaración individual. Como consecuencia muchas teorías, incluyendo Axiomas de Peano, que no puede axiomatizarse adecuadamente en lógica finitaria, puede estar en una lógica infinitaria adecuada.Otros ejemplos incluyen las teorías de Axioma de Arquímedes y Torsión. Estass tres teorías se pueden definir sin el uso de la cuantificación infinita, solo se necesitan uniones infinitas.

Dos lógicas infinitarias se destacan por su completitud.Estas son ${displaystyle L_{omega ,omega }}$ y ${displaystyle L_{omega _{1},omega }}$. La primera es una lógica finitaria de primer orden estándar y el último es una lógica infinitaria que solo permite declaraciones de tamaño contable.

${displaystyle L_{omega ,omega }}$ también es fuertemente completa,compacta y fuertemente compacta.

${displaystyle L_{omega _{1},omega }}$ falla en ser compacta, pero es compleja (bajo los axiomas de datos anteriores).Además, satisface una variante de la propiedad de la interpolación de Craig.

${displaystyle L_{alpha ,alpha }}$ es completa (bajo los axiomas dado arriba) siempre que ${displaystyle alpha }$ sea cardinal inaccesible.Sólo será fuertemente completo si ${displaystyle alpha }$ es fuertemente compacto (ya que las pruebas en estas lógicas no pueden utilizar ${displaystyle alpha }$ o más de los axiomas dados).

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