Lema de Fatou

En matemáticas, específicamente en teoría de la medida, el lema de Fatou (llamado así en honor al matemático francés Pierre Fatou), que es una consecuencia del Teorema de convergencia monótona, establece una desigualdad que relaciona la integral (en el sentido de Lebesgue) del límite inferior de una sucesión de funciones para el límite inferior de las integrales de las mismas. Es muy importante ya que nos permite manejar las sucesiones de funciones que no son monótonas y es usado en las demostraciones del teorema Fatou-Lebesgue y del teorema de convergencia dominada de Lebesgue.

Si ${displaystyle (f_{n})}$ es una sucesión de funciones integrables no negativas para las cuales

entonces la función ${displaystyle f}$, definida por

es integrable y

Sea ${displaystyle g_{m}=inf{f_{m},f_{m+1},f_{m+2},cdots }}$ entonces ${displaystyle g_{m}leq f_{n}}$ si ${displaystyle mleq n}$. Así

entonces ${displaystyle int g_{m}dmu leq liminf int f_{n}dmu }$. Como ${displaystyle (g_{m})}$ es creciente y ${displaystyle g_{m}longrightarrow liminf f_{n}}$, entonces, aplicando el teorema de convergencia monótona ${displaystyle int liminf f_{n}dmu =int liminf g_{m}dmu =lim int g_{m}dmu leq liminf int f_{n}dmu }$

Sea ${displaystyle f_{n}:E o mathbb {R} ,}$ una sucesión de funciones medibles no negativas que converge casi-todas-partes a una función ${displaystyle f,}$, tal que:

entonces,