En teoría de la probabilidad, la ley del logaritmo iterado describe la magnitud de las fluctuaciones de un paseo aleatorio. El enunciado original de esta ley se debe a A. Y. Jinchin (1924). A. N. Kolmogórov dio otra versión en 1929.
Sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con media cero y varianza uno. Sea . Entonces
La ley del logaritmo iterado opera "entre" la ley de los grandes números y el teorema central del límite. Hay dos versiones de la ley de los grandes números (la débil y la fuerte), y afirman que las sumas , escaladas por , convergen a cero (en probabilidad y casi seguramente, respectivamente):
Por otra parte, el teorema central del límite afirma que las sumas , escaladas por , convergen en distribución a una distribución normal estándar. Por la ley cero-uno de Kolmogórov, para cada fijo, la probabilidad del evento es 0 o 1. Pero
luego
Un argumento análogo prueba que
Por tanto, estas cantidades no pueden converger casi seguramente. De hecho, tampoco pueden converger en probabilidad, debido a la igualdad
y al hecho de que las variables aleatorias
son independientes y convergen en distribución a
La ley del logaritmo iterado proporciona el factor de escala en el que los dos límites se vuelven diferentes:
Así, aunque para cualquier fijo la cantidad será menor que con probabilidad tendiendo a 1, esta cantidad será sin embargo mayor que para valores de arbitrariamente grandes, casi seguramente; de hecho, esta cantidad visitará los entornos de cualquier punto del intervalo para valores de arbitrariamente grandes, casi seguramente.
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