Ligadura (física)

En física, se denomina ligadura a las condiciones sobre coordenadas de un sistema que están sujetas a restricciones independientes de las fuerzas actuantes. En cualquier sistema dinámico aparecen este tipo de ligaduras que constriñen el movimiento, además de fuerzas que controlan su evolución.

En la formulación clásica de la mecánica, el problema es poder expresar matemáticamente un fenómeno de modo que las fuerzas no aparezcan explícitamente debido a que muchas veces aparte de las condiciones iniciales lo que no se conoce precisamente es cuales son todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Es ahí donde surgen las fuerzas de ligadura, o simplemente ligaduras, cuando por ejemplo tenemos alguna partícula que tenga que moverse por un camino específico. Si éstas fuerzas de ligadura se conocieran simplemente se las sumaria con las demás fuerzas, pero el problema radica que por lo general se conocen éstas ligaduras y no las fuerzas resultantes en el sistema.

Suponiendo que tenemos ${displaystyle n}$ grados de libertad para una partícula y ${displaystyle m}$ coordenadas generalizadas, el número de ligaduras viene por la fórmula:

(1)${displaystyle l=n-m}$

A pesar de que podrían existir muchos tipos de ligaduras. Los dos criterios principales son si las ligaduras son integrables (permiten reducir el número de grados de libertad) o no y si contienen explícitamente al tiempo o no. Una ligadura no lineal se representa generalmente como una relación entre las coordenadas generalizadas necesarias para describir un sistema así como sus derivadas. Así una ligadura es cualquier expresión del tipo:

(2)${displaystyle Phi (t;q_{i},{dot {q}}_{i},{ddot {q}}_{i},dots )=0}$

Respecto a la integrabilidad de las ligaduras los sistemas se clasifican en:

Respecto a si las expresiones matemáticas que contienen las ligaduras contienen o no la variable tiempo las ligaduras se clasifican en:

Respecto a la linealidad, una ligadura es lineal de primer orden si puede expresarse:

${displaystyle b(q_{i},t)+sum _{j}a_{j}(q_{i},t){dot {q}}_{j}=0}$

Las ligaduras holónomas son siempre lineales de primer orden ya que su derivada respecto al tiempo tiene la forma anterior. Sin embargo no toda ligadura lineal es holónoma, ya que existen ligaduras lineales que no pueden expresarse como una diferencial exacta y por tanto no son integrables. Algunos ejemplos de ligaduras son:

${displaystyle {dot {y}}-{frac {df}{dx}}{dot {x}}=0}$

${displaystyle {dot {x}}-R{dot {varphi }}cos( heta )=0,quad {dot {y}}-R{dot {varphi }}sin( heta )=0}$

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