Módulo noetheriano

En álgebra, un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de la cadena ascendente en sus submódulos, los cuales forman un orden parcial por inclusiones. Equivalentemente, los submódulos de un módulo noetheriano son finitamente generados, obviamente incluido él mismo.

El primer matemático que trabajó con las propiedades de submódulos finitamente generados fue el matemático alemán David Hilbert. A él se debe el conocido teorema de la base que dice que cualquier ideal de un anillo polinomial sobre un campo arbitrario es finitamente generado. Sin embargo, la propiedad es atribuida a la matemática alemana Emmy Noether, quien fue la primera en descubrir la importancia de la misma.

Con el uso del axioma de elección, un módulo ${displaystyle M}$ es noetheriano si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

Los módulos noetherianos se comportan bien en sucesiones exactas cortas, es decir dada una sucesión exacta corta de ${displaystyle R}$-módulos

entonces ${displaystyle M}$ es noetheriano si y solamente si ${displaystyle M'}$ y ${displaystyle M''}$ son noetherianos.

La propiedad anterior no es cierta en general para módulos finitamente generados. Por ejemplo, un submódulo de un módulo finitamente generado puede no ser finitamente generado. Para ver esto consideremos el anillo ${displaystyle R=mathbb {Q} [X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},ldots ]}$ de los polinomios con infinitas variables sobre los números racionales, ${displaystyle R}$ es un módulo finitamente generado sobre sí mismo; sin embargo el ideal ${displaystyle I=(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},ldots )}$ no es finitamente generado sobre ${displaystyle R}$.