Matriz aumentada

En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$, donde

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&3&2\2&0&1\5&2&2end{bmatrix}},B={egin{bmatrix}4\3\1end{bmatrix}}}$

Entonces la matriz aumentada ${displaystyle (A|B)}$ se representa de la siguiente manera:

${displaystyle (A|B)={egin{bmatrix}1&3&2&4\2&0&1&3\5&2&2&1end{bmatrix}}}$

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Sea ${displaystyle C}$ una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde ${displaystyle C={egin{bmatrix}1&3\-5&0end{bmatrix}}}$

Para encontrar la inversa de ${displaystyle C}$, se crea ${displaystyle (C|I)}$, donde ${displaystyle I}$ es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de ${displaystyle (C|I)}$ correspondiente a ${displaystyle C}$, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en ${displaystyle (C|I)}$.

${displaystyle (C|I)={egin{bmatrix}1&3&1&0\-5&0&0&1end{bmatrix}}}$

${displaystyle (I|C^{-1})={egin{bmatrix}1&0&0&-{frac {1}{5}}\0&1&{frac {1}{3}}&{frac {1}{15}}end{bmatrix}}}$

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

${displaystyle {egin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}=2\6x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=11end{cases}}}$

la matriz aumentada estaría formada por:

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&2&3\3&4&7\6&5&9end{bmatrix}}}$

y

${displaystyle B={egin{bmatrix}0\2\11end{bmatrix}}}$

dando como resultado final:

${displaystyle C={egin{bmatrix}1&2&3&0\3&4&7&2\6&5&9&11end{bmatrix}}}$