Matriz hermitiana

Una matriz hermitiana (o hermítica, en honor a Charles Hermite) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

Sea ${displaystyle Ain Bbbk ^{n imes n},,(Bbbk =mathbb {R} ,,{ ext{ó}},,mathbb {C} )}$ Hermítica, es decir ${displaystyle A=A^{H},}$. Entonces ${displaystyle A,}$ es diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:

En donde:

1) Sea ${displaystyle A={egin{bmatrix}1&2\2&1\end{bmatrix}}}$ una matriz real simétrica (caso particular de Hermítica, con Imag(A) = 0). Entonces, se ve que ${displaystyle lambda _{1}=3,}$ es autovalor de ${displaystyle A,}$ asociado al autovector ${displaystyle v_{1}={inom {1}{1}}}$, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es ${displaystyle S_{lambda _{1}}=operatorname {gen} {Big {}{inom {1}{1}}{Big }}}$

El otro autovalor es ${displaystyle lambda _{2}=-1,}$ asociado al autovector ${displaystyle v_{2}={inom {-1}{1}}}$, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es ${displaystyle S_{lambda _{2}}=operatorname {gen} {Big {}{inom {-1}{1}}{Big }}}$

Como se puede ver, ${displaystyle (,,v_{1},,,,,v_{2},,)=0,}$; es decir, son ortogonales. O sea ${displaystyle S_{lambda _{1}}oplus S_{lambda _{2}}=mathbb {R} ^{2}}$

La descomposición de la matriz es:

O si no:

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