Matriz traspuesta

Sea ${displaystyle A}$ una matriz con ${displaystyle m}$ filas y ${displaystyle n}$ columnas. La matriz traspuesta, denotada con ${displaystyle A^{t}}$.^[1]​^[2]​

Está dada por:

En donde el elemento ${displaystyle a_{ji}}$ de la matriz original ${displaystyle A}$ se convertirá en el elemento ${displaystyle a_{ij}}$ de la matriz traspuesta ${displaystyle A^{t}}$.

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

${displaystyle {egin{bmatrix}0&0&4\1&0&4\0&1&0\0&3&2\0&2&3\0&3&4\3&3&1end{bmatrix}}^{t}quad =quad {egin{bmatrix}0&1&0&0&0&0&3\0&0&1&3&2&3&3\4&4&0&2&3&4&1end{bmatrix}}}$

${displaystyle (A^{t})^{t}=left(left(a_{ij} ight)_{ij}^{t} ight)^{t}=left(left(a_{ji} ight)_{ij} ight)^{t}=left(a_{ij} ight)_{ij}=A}$ ∎

${displaystyle (A+B)^{t}=left(c_{ij} ight)_{ij}^{t}=left(c_{ji} ight)_{ij}=left(a_{ji}+b_{ji} ight)_{ij}=left(a_{ji} ight)_{ij}+left(b_{ji} ight)_{ij}=A^{t}+B^{t}}$ ∎

${displaystyle cA=cleft(a_{ij} ight)_{ij}=left(ca_{ij} ight)_{ij}}$

sea d_ij = c a_ij, con esta notación se tiene c A = (d_ij)_ij, por trasposición queda

${displaystyle (cA)^{t}=left(d_{ij} ight)_{ij}^{t}=left(d_{ji} ight)_{ij}=left(ca_{ji} ight)_{ij}=cA^{t}}$∎

${displaystyle c_{ij}=sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}}$

por trasposición queda

${displaystyle c_{ji}=sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}}$

que coincide con la definición de producto para B^t A^t∎

es semidefinida positiva.

${displaystyle x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=|Ax|^{2}}$

de las propiedades de la norma se deduce x^t A^t A x ≥ 0 para todo x, luego A^t A es semidefinida positiva. ∎

Una matriz cuadrada ${displaystyle A}$ es simétrica si coincide con su traspuesta:

Una matriz cuadrada ${displaystyle A}$ es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

Si los elementos de la matriz ${displaystyle A}$ son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

y antihermítica si

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).