Media aritmético-geométrica

La media aritmético-geométrica M(x, y) de dos números reales positivos x e y se define de la siguiente forma:

${displaystyle a_{n+1}={frac {a_{n}+g_{n}}{2}}quad {mbox{y}}quad g_{n+1}={sqrt {a_{n}g_{n}}}}$

Ambas sucesiones convergen al mismo número, denominado media aritmético-geométrica M(x, y) de x e y.

Origen Algebraico de la Media Aritmético - Geométrica

https://web.archive.org/web/20160818061731/http://www.cerano.com.mx/cerano_v2/media-aritmetico-geometrica/

Se puede demostrar además que:

${displaystyle M(x,y)={frac {pi }{4}}cdot {frac {x+y}{Kleft({frac {x-y}{x+y}} ight)}}}$

donde K(x) es la integral elíptica completa de primera especie. Otra identidad interesante en la que interviene la media aritmética geométrica es la siguiente:

${displaystyle {frac {1}{M(a,b)}}={frac {2}{pi }}int _{0}^{pi /2}{frac {d heta }{sqrt {a^{2}cos ^{2} heta +b^{2}sin ^{2} heta }}}={frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {dt}{sqrt {(a^{2}+t^{2})(b^{2}+t^{2})}}}}$