Mediana (estadística)

En el ámbito de la estadística, la mediana (del latín mediānus 'del medio'^[1]​) representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. Se le denota mediana.

Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Ejemplo.

7, 8, 9, 10, 11, 12

Me = 9,5 = (9+10)/2

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

Sean ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots ,x_{n}}$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como ${displaystyle M_{e}}$, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición ${displaystyle (n+1)/2}$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque este es el valor central. Es decir: ${displaystyle M_{e}=x_{(n+1)/2}}$.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: ${displaystyle x_{1}=3}$, ${displaystyle x_{2}=6}$, ${displaystyle x_{3}=7}$, ${displaystyle x_{4}=8}$, ${displaystyle x_{5}=9}$ => El valor central es el tercero: ${displaystyle x_{(5+1)/2}=x_{3}=7}$. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (${displaystyle x_{1}}$, ${displaystyle x_{2}}$) y otros dos por encima de él (${displaystyle x_{4}}$, ${displaystyle x_{5}}$).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando ${displaystyle n}$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones ${displaystyle n/2}$ y ${displaystyle (n/2)+1}$. Es decir: ${displaystyle M_{e}=(x_{frac {n}{2}}+x_{{frac {n}{2}}+1})/2}$.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: ${displaystyle x_{1}=3}$, ${displaystyle x_{2}=6}$, ${displaystyle x_{3}=7}$, ${displaystyle x_{4}=8}$, ${displaystyle x_{5}=9}$, ${displaystyle x_{6}=10}$. Hay dos valores que están por debajo del ${displaystyle x_{frac {6}{2}}=x_{3}=7}$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato ${displaystyle x_{{frac {6}{2}}+1}=x_{4}=8}$. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: ${displaystyle M_{e}={frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={frac {7+8}{2}}=7,5}$.

Al tratar con datos agrupados, si ${displaystyle {frac {n}{2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Donde ${displaystyle N_{i}}$ y ${displaystyle N_{i-1}}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que ${displaystyle N_{i-1}<{frac {n}{2}}<N_{i}}$, ${displaystyle a_{i-1}}$ y ${displaystyle a_{i}}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y ${displaystyle M_{e}=a_{i-1}+p}$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que ${displaystyle a_{i}-a_{i-1}}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

${displaystyle {egin{array}{|ccc|}hline x_{i}&f_{i}&N_{i}\hline 1&2&2\2&2&4\3&4&8\4&5&13\5&8&21>19,5\6&9&30\7&3&33\8&4&37\9&2&39\hline end{array}}}$

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de ${displaystyle 39}$ alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

acumulada

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, se obtiene ${displaystyle X_{(39+1)/2}=X_{20}}$.

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En este ejemplo, ${displaystyle 21}$ (frecuencia absoluta acumulada para ${displaystyle X_{i}=5}$) ${displaystyle >19,5}$ con lo que ${displaystyle M_{e}=5}$ puntos, la mitad de la clase ha obtenido un ${displaystyle 5}$ o menos, y la otra mitad un ${displaystyle 5}$ o más.

${displaystyle {egin{array}{|ccc|}hline x_{i}&f_{i}&N_{i}\hline 1&2&2\2&2&4\3&4&8\4&5&13\5&6&19=19\6&9&28\7&4&32\8&4&36\9&2&38\hline end{array}}}$

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de ${displaystyle 38}$ alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

acumulada

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para ${displaystyle n}$ par, se obtiene la siguiente fórmula: ${displaystyle X=n/2Rightarrow X=(38/2)Rightarrow X=19}$ (Donde ${displaystyle n=38}$ alumnos divididos entre dos).

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el ${displaystyle 5}$ y el vigésimo el ${displaystyle 6}$ con lo que ${displaystyle M_{e}=(5+6)/2=5,5}$ puntos, la mitad de la clase ha obtenido un ${displaystyle 5,5}$ o menos y la otra mitad un ${displaystyle 5,5}$ o más.

Consideramos:

- x₁₁ valor mínimo< Entonces:

donde: