Modelaje matemático de epidemias

El modelaje matemático de epidemias consiste en el uso del lenguaje y herramientas matemáticas para explicar y predecir el comportamiento de agentes infecciosos y potencialmente dañinos a poblaciones humanas o animales.

En un modelo determinista la enfermedad puede infectar a los individuos de manera aleatoria. Sin embargo, la ley de los grandes números nos asegura que el número de infecciones se va haciendo cada vez más predecible conforme el tamaño de la población aumenta. Debido a esto los modelos deterministas son usados para tratar enfermedades que afectan a poblaciones grandes y a menudo surgen representados a través de ecuaciones diferenciales.

A continuación se da una breve descripción de la notación que usaremos a lo largo de los modelos deterministas (por orden de aparición):

En 1927, W. O. Kermack y A. G. McKendrick crearon el modelo SIR que considera una enfermedad que se desarrolla a lo largo del tiempo y únicamente tres clases de individuos (de donde proviene el nombre):

El flujo de transiciones de un grupo a otro se da como sigue:

Dada una población fija N=S(t)+I(t)+R(t), Kermack y McKendrick obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que describen el modelo:

${displaystyle {dS over dT}=-eta SI}$

${displaystyle {dI over dT}=eta SI-gamma I}$

${displaystyle {dR over dT}=gamma I}$

Éste es una ampliación del modelo SIR y considera nacimientos a lo largo del tiempo t, de modo que hay una constante renovación de individuos susceptibles a la enfermedad. Del mismo modo, algunos individuos mueren o bien por la enfermedad o de manera natural al cabo de un tiempo de haber sido recobrados. El flujo de transiciones de un grupo a otro sigue siendo:

Las ecuaciones diferenciales que representan el modelo son:

${displaystyle {dS over dt}=-eta SI+mu (N-S)}$

${displaystyle {dI over dt}=eta SI-gamma I-mu I}$

${displaystyle {dR over dt}=gamma I-mu R}$

Simplificación del modelo SIR con nacimientos y muertes, en donde un individuo recobrado nunca desarrolla inmunidad a la enfermedad, de modo que el flujo de un grupo a otro resulta:

Sus ecuaciones diferenciales son:

${displaystyle {dS over dt}=-eta SI+mu (N-S)+gamma I}$

${displaystyle {dI over dt}=eta SI-gamma I-mu I}$

Extensión del modelo SIR, en donde los individuos recobrados pueden perder la inmunidad a la enfermedad y volver a formar parte del grupo de susceptibles. El flujo de un grupo a otro está dado como sigue:

Sus ecuaciones diferenciales son:

${displaystyle {dS over dt}=-eta SI+fR}$

${displaystyle {dI over dt}=eta SI-gamma I-mu I}$

${displaystyle {dR over dt}=gamma I-mu R-fR}$

El modelo SEIS considera una nueva clase de individuos E (del inglés exposed), es decir, aquellos que portan la enfermedad pero que al hallarse en su periodo de incubación no muestran síntomas y pueden o no estar en condición de infectar a otros. Se supone además que un individuo que ha enfermado nunca obtiene inmunidad, de modo que el flujo de grupos resulta:

y sus ecuaciones diferenciales están dadas por:

${displaystyle {dS over dt}=B-eta SI-mu S+gamma I}$

${displaystyle {dE over dt}=eta SI-(epsilon +mu )E}$

${displaystyle {dI over dt}=epsilon E-(gamma +mu )I}$

Derivado del modelo SEIS pero agregando esta vez a la población de recobrados. En este caso, al igual que los anteriores, cada grupo es mutuamente excluyente y la suma de todos es la población total, esto es, ${displaystyle N=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)}$

El flujo de un grupo a otro es:

y sus ecuaciones diferenciales resultan: 1

${displaystyle {dS over dt}=B-eta S{frac {I}{N}}-mu N-mu S}$

${displaystyle {dE over dt}=eta S{frac {I}{N}}-(epsilon +mu )E}$

${displaystyle {dI over dt}=epsilon E-(gamma +mu )I}$

${displaystyle {dR over dt}=gamma I-mu R}$

Este modelo considera una nueva clase de individuos M, los llamados infantes con inmunidad pasiva que tras cierto tiempo la pierden y están en condición de ser portadores de la enfermedad (para una descripción más detallada véase Inmunidad (medicina)). Los flujos de grupo resultan:

y sus ecuaciones diferenciales:

${displaystyle {dM over dt}=B-delta MS-mu M}$

${displaystyle {dS over dt}=delta MS-eta SI-mu S}$

${displaystyle {dI over dt}=eta SI-gamma I-mu I}$

${displaystyle {dR over dt}=gamma I-mu R}$

Derivado del modelo anterior, en donde entre el periodo de susceptibilidad e infección hay un periodo de latencia, de modo que el flujo entre un grupo y otro es:

y sus ecuaciones diferenciales:

${displaystyle {dM over dt}=B-delta MS-mu M}$

${displaystyle {dS over dt}=delta MS-eta SI-mu S}$

${displaystyle {dE over dt}=eta SI-(epsilon +mu )E}$

${displaystyle {dI over dt}=epsilon E-(gamma +mu )I}$

${displaystyle {dR over dt}=gamma I-mu R}$

Para poblaciones pequeñas la fluctuación de una enfermedad puede ser muy grande y debido a esto se vuelve necesario considerar el factor aleatorio en el modelo. En estos casos la probabilidad se hace presente y las variables aleatorias pasan a sustituir a las ecuaciones diferenciales como herramientas para resolver el problema.

Uno de los modelos más simples se puede obtener a partir del proceso de ramificación de Bienaymé-Galton-Watson (llamado más comúnmente Proceso Galton-Watson). Este proceso estocástico discreto modela una población que evoluciona en el tiempo y en cada etapa el proceso puede tomar valores enteros no negativos, que representarán el tamaño total de la población en dicho periodo.

Usando el modelo antes mencionado podemos considerar una epidemia donde la "población" consistirá justamente en el conjunto de todos los individuos enfermos, y para cada enfermo su "descendencia" será el número de individuos nuevos que contagia. Conociendo la función de distribución de nuevos contagios es posible entonces calcular, entre otras cosas, el índice de contagio y la probabilidad de extinción. Estas magnitudes tienen importancia tanto teórica como práctica, pues uno de los aspectos más importantes de una epidemia es su agresividad y posible alcance.

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