Número imaginario

En matemáticas, particularmente en álgebra, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: ${displaystyle 3i }$ es un número imaginario, así como ${displaystyle i }$ o ${displaystyle -i }$ son también números imaginarios. En general un número imaginario es de la forma ${displaystyle z=y,i}$, donde ${displaystyle y}$ es un número real.

Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1, es decir:

En raíz cuadrada los números imaginarios son el residuo de una raíz negativa, es decir: i: la raíz cuadrada de -1,-2,-3,-4,etc.

El género de los números complejos/imaginarios los inventó Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano del siglo XVI. El término de números imaginarios fue creado por René Descartes, en su tratado Geometría, en oposición a las teorías de Bombelli.^[1]​

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a ${displaystyle {sqrt {-1}}}$ el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que ${displaystyle {sqrt {-1}}}$ "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria a menudo se indica con j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Geométricamente, los números imaginarios se representan en el eje vertical del plano complejo y por tanto perpendicular al eje real que es horizontal, el único elemento que comparten es el cero, ya que ${displaystyle 0=0i}$. Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como ${displaystyle imathbb {R} }$, ${displaystyle mathbb {I} }$, o simplemente ${displaystyle Im }$. En esta representación se tiene que:

En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

(mod representa el residuo)

Todo número imaginario puede ser escrito como ${displaystyle ib}$ donde ${displaystyle b}$ es un número real e ${displaystyle i}$ es la unidad imaginaria.

${displaystyle (bi)^{2}=b^{2}i^{2}=b^{2}(-1)=-b^{2};}$

que es un número real.

Sea ${displaystyle -b}$ un número real negativo se tiene que:

${displaystyle {sqrt {-b}}={sqrt {(-1)b}}}$ ${displaystyle ={sqrt {-1}}{sqrt {b}}}$ ${displaystyle =i;{sqrt {b}}}$ ${displaystyle ={sqrt {b}};i.}$

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

${displaystyle a+bi,!}$

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Estos números extienden el conjunto de los números reales ${displaystyle mathbb {R} }$ al conjunto de los números complejos ${displaystyle mathbb {C} }$.

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.^[3]​ Es decir, es correcto afirmar que ${displaystyle 1>0}$, y que ${displaystyle -1<0}$; esto se debe a que ${displaystyle 1-0>0}$ y ${displaystyle -1-0<0}$. Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que ${displaystyle a=2>0}$, ${displaystyle b=3>0}$, por lo tanto, ${displaystyle (a)(b)=c>0}$, entonces tenemos que ${displaystyle (2)(3)=6}$, y obviamente ${displaystyle 6>0}$.

Por otro lado, supóngase que ${displaystyle i>0}$, entonces tenemos que ${displaystyle -1=(i)(i)>0}$, lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que ${displaystyle i<0}$, pero si multiplicamos por ${displaystyle -1}$ nos queda que ${displaystyle -i>0}$. Por lo tanto tenemos que ${displaystyle -1=(-i)(-i)>0}$. Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente errónea.