Notación bra-ket

La notación bra-ket,^[1]​^[2]​ también conocida como notación de Dirac, es la notación estándar para describir los estados cuánticos en la teoría de la mecánica cuántica. Puede también ser utilizada para denotar vectores abstractos y funcionales lineales en las matemáticas puras. Es así llamada porque el producto interno de dos estados es denotado por el "paréntesis angular" (angle bracket, en inglés), ${displaystyle langle phi |psi angle }$, consistiendo en una parte izquierda, ${displaystyle langle phi |}$, llamada el bra, y una parte derecha, ${displaystyle |psi angle }$, llamada el ket.^[2]​

La notación fue introducida en 1939 por Paul Dirac,^[3]​ aunque la notación tiene precursores en el uso del lingüista y matemático alemán Hermann Grassmann de la notación [φ|ψ] para sus productos internos casi 100 años antes.^[4]​^[5]​

En mecánica cuántica, el estado de un sistema físico se identifica con un vector en el espacio de Hilbert complejo, ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Cada vector se llama un ket, y se denota como ${displaystyle |psi angle }$. Cada ket ${displaystyle |psi angle }$ tiene un bra dual, escrito como ${displaystyle langle phi |}$, esto es una funcional lineal continua de ${displaystyle {mathcal {H}}}$ a los números complejos C, definido como

Donde () denota el producto interno definido en el espacio de Hilbert. La notación está justificada por el teorema de representación de Riesz, que establece que un espacio de Hilbert y su espacio dual son isométricamente isomorfos. Así, cada bra corresponde a exactamente un ket, y viceversa.

Incidentemente, la notación bra-ket puede ser utilizada incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert. En cualquier espacio de Banach B, los vectores pueden ser notados como kets y los funcionales lineales continuos por los bras. Sobre cualquier espacio vectorial sin topología, se puede también denotar los vectores con kets y los funcionales lineales por los bras. En estos contextos más generales, el braket no tiene el significado de un producto interno, porque el teorema de representación de Riesz no se aplica.

La aplicación del bra ${displaystyle langle phi |}$ al ket ${displaystyle |psi angle }$ da lugar a un número complejo, que se denota:

En mecánica cuántica, ésta es la amplitud de probabilidad para que el estado ${displaystyle psi }$ colapse en el estado ${displaystyle phi }$.

Los bras y kets se pueden manipular de las maneras siguientes:

es dual a ${displaystyle c_{1}^{*}langle psi _{1}|+c_{2}^{*}langle psi _{2}|}$.

Si A: H → H es un operador lineal, se puede aplicar A al ket ${displaystyle |psi angle }$ para obtener el ket ${displaystyle (A|psi angle )}$. Los operadores lineales son ubicuos en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, se utilizan operadores lineales hermíticos para representar cantidades físicas observables, tales como la energía o el momento, mientras que los operadores lineales unitarios representan procesos transformativos como la rotación o la progresión del tiempo. Los operadores pueden también ser vistos como actuando en los bras del lado derecho. La aplicación del operador A al bra ${displaystyle langle phi |}$ da lugar al bra ${displaystyle (langle phi |A)}$, definido como funcional lineal en H por la regla

Esta expresión se escribe comúnmente como:

Una manera conveniente de definir operadores lineales en H es dada por el producto exterior: si ${displaystyle langle phi |}$ es un bra y ${displaystyle |psi angle }$ es un ket, el producto externo

denota un operador que mapea el ket ${displaystyle | ho angle }$ al ket ${displaystyle |phi angle langle psi | ho angle }$ (donde ${displaystyle langle psi | ho angle }$ es un escalar que multiplica al ket ${displaystyle |phi angle }$). Una de las aplicaciones del producto externo es para construir un operador de proyección o proyector dado un ket ${displaystyle |psi angle }$ de norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por ${displaystyle |psi angle }$ es

Dos espacios de Hilbert V y W pueden formar un tercer espacio ${displaystyle Votimes W}$ por producto tensorial. En mecánica cuántica, esto se utiliza para describir conjuntos compuestos. Si un conjunto se compone de dos subconjuntos descritos por V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert del conjunto entero es el producto tensorial de los dos espacios. La excepción a esto es si los subconjuntos son realmente partículas idénticas; en ese caso, la situación es un poco más complicada.

Si ${displaystyle |psi angle }$ es un ket en V y ${displaystyle |phi angle }$ es un ket en W, el producto tensorial de los dos kets es un ket en ${displaystyle Votimes W}$. Esto se escribe como

En mecánica cuántica, es a menudo conveniente trabajar con las proyecciones de los vectores de estado sobre una base particular, más bien que con los vectores mismos. Este proceso es muy similar al uso de vectores coordinados en álgebra lineal. Por ejemplo, el espacio de Hilbert de partículas puntuales de espín cero es generado por una base de posición ${displaystyle lbrace |mathbf {x} angle brace }$, donde el índice x se extiende sobre el conjunto de los vectores de posición. Partiendo de cualquier ket ${displaystyle |psi angle }$ en este espacio de Hilbert, se puede definir una función escalar compleja de x, conocida como función de onda

Es entonces usual definir operadores lineales que actúan sobre funciones de ondas en términos de operadores lineales que actúan en kets, como

Aunque el operador A en el lado izquierdo de esta ecuación, por convención, se etiqueta de la misma manera que el operador en el lado derecho, debe considerarse que los dos son entidades conceptualmente diversas: el primero actúa sobre funciones de ondas, y el segundo actúa sobre kets. Por ejemplo, el operador de momento p tiene la forma siguiente

Se encuentra de vez en cuando una expresión como

Esto es un abuso de notación, aunque bastante común. El operador diferencial debe ser entendido como un operador abstracto, actuando en kets, que tiene el efecto de diferenciar funciones de ondas una vez que la expresión se proyecta en la base de posición. Para otros detalles, véase espacio equipado de Hilbert.