Objeto inicial, final y cero

En teoría de categorías, una rama abstracta de las matemáticas, un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para todo objeto X en C existe un único morfismo I → X. La noción dual es la de objeto final es decir, un objeto F es final si para todo objeto X en C existe un único morfismo X → F.

Si un objeto es tanto inicial como final, recibe el nombre de objeto cero.

En una categoría arbitraria no necesariamente existen objetos iniciales ni finales, sin embargo, si existen son esencialmente únicos, es decir si I₁ y I₂ son dos objetos iniciales, entonces hay un único isomorfismo entre ellos. Además, si I es un objeto inicial, entonces cualquier objeto isomorfo a I es inicial. Por dualidad, todo lo anterior es cierto para objetos finales.

Si 0 es un objeto cero, entonces de la definición se puede deducir que para cualesquiera dos objetos A y B de la categoría, existe un único morfismo A → 0 → B, que comúnmente recibe el nombre de morfismo cero. Si la categoría es abeliana (o incluso aditiva) el morfismo cero es el neutro bajo la operación aditiva de morfismos.