Optimización multiobjetivo

En un problema de optimización se tratará de encontrar una solución que represente el valor óptimo para una función objetivo.

En el caso más sencillo se tendrá un único objetivo, que estará representado por una función del tipo ${displaystyle f:M ightarrow N}$, donde ${displaystyle Msubset mathbb {R} }$ y ${displaystyle Nsubset mathbb {R} }$. Tanto el dominio como la imagen de la función serán números reales (escalares), y el valor óptimo corresponderá a un mínimo o a un máximo.

Pero en ciencias e ingeniería se dan, en bastantes ocasiones, problemas que requieren la optimización simultánea de más de un objetivo (optimización multiobjetivo^[1]​^[2]​). Habrá que optimizar por tanto una función de la forma ${displaystyle f:S ightarrow T}$, donde ${displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle Tsubset mathbb {R} ^{k}}$. Pero el problema está en que normalmente no existe un elemento de S que produzca un óptimo de forma simultánea para cada uno de los k objetivos que componen f. Esto se deberá a la existencia de conflictos entre objetivos, que harán que la mejora de uno de ellos dé lugar a un empeoramiento de algún otro. Pensemos por ejemplo en el caso de un avión con dos objetivos que fueran su velocidad y el ahorro de combustible: un aumento de la velocidad traería consigo una disminución del ahorro. Habrá que llegar por tanto a una situación de compromiso en la que todos los objetivos sean satisfechos en un grado aceptable, desde el punto de vista de diseño.

A diferencia de los problemas de optimización con un único objetivo, el concepto de óptimo es ahora relativo y será necesario decidir de alguna forma cuál es la mejor solución (o cuáles son las mejores soluciones) al problema.

En términos matemáticos, el problema de optimización multiobjetivo, puede establecerse de la siguiente forma:

Encontrar un vector ${displaystyle x^{*}=left[x_{1}^{*},x_{2}^{*},cdots ,x_{n}^{*} ight]^{T}}$, que satisfaga las m restricciones:

y las p restricciones:

y optimice la función vectorial

donde ${displaystyle x=left[x_{1},x_{2},cdots ,x_{n} ight]^{T}}$ es el vector de variables de decisión.

En otras palabras, se desea determinar la solución particular ${displaystyle x_{1}^{*},x_{2}^{*},cdots ,x_{n}^{*}}$, del conjunto S formado por todos los valores que satisfacen (1) y (2), que dé lugar a los valores óptimos para todas las funciones objetivo. Pero como ya se ha comentado, no existe normalmente una solución que optimice de forma simultánea todas las funciones objetivo.

Para tratar el problema comentado del conflicto entre objetivos se han utilizado diversos métodos:

Todos los métodos anteriores han sido utilizados por distintos autores en combinación con los algoritmos evolutivos, que se han mostrado como una herramienta muy adecuada para resolver este tipo de problemas. Estos métodos pueden englobarse en lo que se conoce como MOEA^[3]​^[4]​ (Multi-Objective Evolutionary Algorithms, en español algoritmos evolutivos multiobjetivo).