Orden (teoría de grupos)

En teoría de grupos, una de las ramas de las matemáticas, el término orden se utiliza en dos sentidos estrechamente relacionados:

Denotamos el orden de un grupo G por ord(G) o ${displaystyle |G|}$ y el de un elemento ${displaystyle ain G}$ por ord(a) o ${displaystyle |a|}$. Se puede notar que el orden de un elemento (en el segundo sentido expuesto) coincide con el orden del subgrupo generado por dicho elemento (en el primer sentido).

Si el orden del grupo G es 1, entonces el grupo se denomina grupo trivial. Dado un elemento a, ord(a) = 1 si y solo si a es la identidad. Si un elemento de G tiene orden 2 entonces es igual a su inverso. Si todos los elementos del grupo tienen orden 2 el grupo resulta abeliano dado que:

Si G es un grupo y a es un elemento del mismo, se denota ${displaystyle langle a angle ={a^{k}:kin mathbb {Z} }}$ el subgrupo generado por a. Entonces el orden del elemento a es igual al orden del subgrupo ${displaystyle langle a angle }$.

En el caso que ${displaystyle operatorname {ord} (a)=nin mathbb {N} }$ es finito, el subgrupo ${displaystyle langle a angle }$ nos queda isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} _{n}}$. Cuando el orden de a es infinito, obtenemos que ${displaystyle langle a angle }$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} }$.

Todos los elementos de un grupo finito tienen un orden finito. Es más, por el teorema de Lagrange se sabe que el orden de cualquier elemento divide al orden del grupo.

Sea el grupo G = {1,-1,i,-i}, con la operación multiplicación de complejos. Entonces se pueden obtener los siguientes órdenes:

Sea   ${displaystyle G=mathbb {Z} _{n}}$   el grupo formado por las clases de equivalencia módulo n, donde la operación del grupo es la suma. Entonces el orden de cualquier elemento k ≠ 0 es n/d, donde d es el máximo común divisor entre n y k.