Paracompacidad

En matemáticas, un espacio paracompacto es un espacio topológico en que todo recubrimiento por abiertos admite un refinamiento localmente finito.

Por refinamiento de un recubrimiento de un espacio X se entiende un nuevo recubrimiento del mismo espacio de modo que cada conjunto del nuevo recubrimiento sea un subconjunto de algún conjunto del recubrimiento original.

Un recubrimiento se dice localmente finito si todo punto del espacio tiene un entorno que interseca sólo un número finito de abiertos del recubrimiento.

Algunos autores incluyen la condición de ser Hausdorff en la definición de paracompacidad. Nosotros no la incluiremos en este artículo.

Un espacio topológico es metrizable si y sólo si es paracompacto, Hausdorff y localmente metrizable.

La principal característica de los espacios Hausdorff y paracompactos es que admiten particiones de la unidad subordinadas a cualquier recubrimiento por abiertos.

Esto significa que existe una colección de funciones continuas con valores en el intervalo [0,1] tales que:

Las particiones de la unidad permiten extender construcciones locales a todo el espacio. Por ejemplo, la integral de formas diferenciables en variedades paracompactas se define en primer lugar localmente y se extiende a todo el espacio por medio de particiones de la unidad.