Paradoja de Russell

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, acreditada a Bertrand Russell, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

Supongamos los casos de conjuntos que son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta. Otro ejemplo sería una bolsa con bolsas dentro. Por otro lado un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos en sí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.^[1]​

Llamemos ${displaystyle M_{}^{}}$ al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Es decir

(1)${displaystyle M={x:x otin x}}$

Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por

(2)${displaystyle forall xqquad xin Miff x otin x}$

es decir "Cada conjunto es elemento de ${displaystyle M}$ si y solo si no es elemento de sí mismo".

Ahora, en vista de que ${displaystyle M}$ es un conjunto, se puede substituir ${displaystyle x}$ por ${displaystyle M}$ en la ecuación (2), de donde se obtiene

(3)${displaystyle Min Miff M otin M}$

Es decir que ${displaystyle M}$ es un elemento de ${displaystyle M}$ si y solo si ${displaystyle M}$ no es un elemento de ${displaystyle M}$, lo cual es absurdo.

La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera:

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran afeitarse. Y así mismo impuso la norma de que todo el mundo se afeitase, (no se sabe si por higiene, por estética, o por demostrar que podía imponer su santa voluntad y mostrar así su poder). Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! pues desobedecería vuestra orden. Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero como yo soy el único barbero de allí!, no puedo hacerlo y también así desobedecería a vos mi señor, oh emir de los creyentes, ¡que Allah os tenga en su gloria!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.^[2]​

En lógica de primer orden, la paradoja del barbero se puede expresar como:

(4)${displaystyle forall xqquad mathrm {afeita} (x,barbero)iff eg mathrm {afeita} (x,x)}$

Donde ${displaystyle mathrm {afeita} (x,y)}$ significa "${displaystyle x}$ es afeitado por ${displaystyle y}$". Lo anterior se leería como "Cada persona es afeitada por el barbero si y solo si no se afeita a sí misma". Es importante notar la semejanza entre las ecuaciones (2) y (4). Al substituir ${displaystyle x}$ por ${displaystyle barbero}$ se obtiene

(5)${displaystyle mathrm {afeita} (barbero,barbero)iff eg mathrm {afeita} (barbero,barbero)}$

Es decir que el barbero se afeita a sí mismo si y solo si no se afeita a sí mismo, lo cual es una contradicción.

Pero Russell duda sobre esta formulación, él mismo comenta “En una ocasión me fue sugerida una formulación que no era válida; a saber, la cuestión de si el barbero se afeita o no a sí mismo. Ustedes pueden definir al barbero como “alguien que afeita a todos aquellos, y sólo aquellos, que no se afeitan a sí mismos”. La pregunta ahora es: ¿se afeita el barbero a sí mismo? Así formulada, la contradicción no es muy difícil de resolver.

Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos conjuntos normales.

La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo. Pero también existen conjuntos de conjuntos, como ${displaystyle 2^{M}}$, que es el conjunto de subconjuntos de M.

Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacer que se contenga a sí mismo. Esto último no es difícil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.

Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio, o se contiene a sí mismo o no se contiene. Ahora tomemos el conjunto ${displaystyle C}$ como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es ${displaystyle C}$? ¿Normal o Singular?

Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es ${displaystyle C}$, luego ya no puede ser normal, puesto que se contiene a sí mismo. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en ${displaystyle C}$, pero si no puede estar en ${displaystyle C}$ entonces no es singular, puesto que no se contiene a sí mismo.

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