Pentación

En matemáticas, la pentación es la hiperoperación que le sigue a la tetración y es anterior a la hexación. Se define como la iteración (repetición) de tetraciones, tal y como la tetración es la iteración de la potenciación.^[1]​ Es una operación binaria definida con dos números a y b, donde a es «tetrado» a sí mismo b veces. por ejemplo, usando la notación de hiperoperación para la pentación y tetración, ${displaystyle 2[5]3}$ quiere decir «tetrar» 2 a sí mismo 3 veces, o ${displaystyle 2[4](2[4]2)}$. Esto se puede después reducir a ${displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.}$

La palabra «pentación» fue acuñada por Reuben Goodstein en 1947 de las raíces penta- (cinco) e iteración. Es parte de su esquema general para nombrar a las hiperoperaciones.^[2]​

No existe un consenso general para la notación de la pentación; por lo tanto existen varias maneras de escribir la operación. Sin embargo, unas se usan más que otras y existen distintas ventajas entre una y otra forma de uso.

Los valores de la función de pentación también pueden ser obtenidos de los valores en la cuarta fila de valores en una variante de la función de Ackermann: si ${displaystyle A(n,m)}$ se defune como la recurrencia de Ackermann ${displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$ con las condiciones iniciales ${displaystyle A(1,n)=an}$ y ${displaystyle A(m,1)=a}$, entonces ${displaystyle a[5]b=A(4,b)}$.^[6]​

Como la tetración, su operación base, no ha sido extendida a alturas no-enteras, la pentación ${displaystyle a[5]b}$ actualmente sólo está defnida para valores enteros de a y b donde ${displaystyle a>0}$ y ${displaystyle bgeq -1}$, y unos pocos valores enteros adicionales que podrían estar únicamente definidos. Como todas las hiperoperaciones de orden 3 y mayor, la pentación tiene los siguientes casos triviales (identidades) que son verdaderos para todos los valores de a y b en su dominio:

Adicionalmente, se puede definir:

Además de los casos triviales arriba expuestos, la pentación genera números extremadamente grandes muy rápidamente tal que sólo hay unos pocos casos no-triviales que producen números que pueden ser escritos en notación convencional, como se muestra a continuación: