Periodicidad

En física, el período de una oscilación u onda (T) es el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la onda. El concepto aparece tanto en matemáticas como en física y otras áreas de conocimiento.

Es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes. Así el periodo de oscilación de una onda es el tiempo empleado por la misma en completar una longitud de onda. En términos breves es el tiempo que dura un ciclo de la onda en volver a comenzar. Por ejemplo, en una onda, el periodo es el tiempo transcurrido entre dos crestas o valles sucesivos. El periodo (T) es inverso a la frecuencia (f):

${displaystyle T={frac {1}{mbox{frecuencia}}}={frac {2pi }{omega }}}$

Como el periodo siempre es inverso a la frecuencia, la longitud de onda también está relacionada con el periodo, mediante la fórmula de la velocidad de propagación. En este caso la velocidad de propagación será el cociente entre la longitud de onda y el período.

En física un movimiento periódico siempre es un movimiento acotado, es decir, está confinado a una región finita del espacio de la cual las partículas nunca salen. Un ejemplo de ello es el movimiento unidimensional de una partícula por la acción de una fuerza conservativa si ${displaystyle scriptstyle U(x)}$ es el potencial asociado a la fuerza conservativa, para energías ligeramente superiores a un mínimo de energía ${displaystyle scriptstyle E>E_{0}}$ la partícula realizará un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio dada por el mínimo local de energía. El período de oscilación depende de la energía y viene dado por la expresión:^[1]​

${displaystyle T_{E}={sqrt {2m}}int _{x_{1}(E)}^{x_{2}(E)}{frac {dx}{sqrt {E-U(x)}}}}$

Para ${displaystyle scriptstyle (E-E_{0})}$ suficientemente pequeño el movimiento puede representarse por un movimiento cuasi-armónico de la forma:

${displaystyle {egin{cases}x_{E}(t)=x_{0}+A_{E}sin(omega _{E}(t)t+varphi _{0})=\x_{E}(t)=x_{0}+A(t)sin(omega _{0}t+varphi _{0})+B(t)cos(omega _{0}t+varphi _{0})end{cases}}}$ ${displaystyle {egin{cases}A(t)=A_{E}(1+t^{4}alpha (t))\B(t)=A_{E}(1+t^{2}eta (t))end{cases}}}$

El término ${displaystyle scriptstyle omega _{E}(t)t+varphi _{0}}$ es la fase, siendo ${displaystyle scriptstyle varphi _{0}}$ es la fase inicial, ${displaystyle scriptstyle omega _{E}(t)}$ es la frecuencia angular dándose la relación aproximada:

${displaystyle omega _{E}(0)=omega _{0}approx {frac {2pi }{T_{E}}},qquad A_{E}=|x_{2}(E)-x_{1}(E)|}$

Dependiendo el grado de aproximación de lo cercana que esté la energía al mínimo, para energías poco por encima del mínimo el movimiento está muy cercano al movimiento armónico dado por:

${displaystyle x_{E}(t)approx x_{0}+A_{E}sin(omega _{0}t+varphi _{0})=x_{0}+A_{E}sin left({frac {2pi t}{T_{E}}}+varphi _{0} ight)}$

Un período de una función real f es un número tal que para todo t se cumple que:

${displaystyle f(t+T)=f(t),qquad forall t:[t,t+T]subset {mathcal {D}}_{f}}$

Nótese que en general existe una infinidad de valores T que satisfacen la condición anterior, de hecho el conjunto de los períodos de una función forma un subgrupo aditivo de ${displaystyle mathbb {R} }$. Por ejemplo f(t) = sen t tiene como conjunto de períodos a 2πZ, los múltiplos de 2yuya

Una suma de funciones periódicas no es forzosamente periódica, como se ve en la figura siguiente con la función cos t + cos(√2·t):

Para serlo hace falta que el cociente de los períodos sea racional, cuando esa última condición no se cumple la función resultante se dice cuasiperiódica.