Poliedros

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de ἕδρα (hedra), «base», «asiento», «cara».

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro es el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.

Existen varias definiciones de lo que es un poliedro, dependiendo de si se interpreta un poliedro como un volumen, como los polígonos que lo delimitan, o como únicamente los segmentos que forman el esqueleto del poliedro. Normalmente, un poliedro se define como una región acotada del espacio, delimitada completamente por superficies planas. Esta definición es generalmente tolerante a las autointersecciones.

El concepto de poliedro puede extenderse de manera que se puedan incluir otras clases de cuerpos, como las teselaciones, los apeiroedros, entre otros.

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.

Frecuentemente un poliedro se califica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales y además todos los ángulos poliedros son iguales, se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.

Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:

Estos grupos no se excluyen entre sí, es decir, un poliedro puede pertenecer a varias categorías.

El nombre que se le asigna a un poliedro según su número de caras se compone de un prefijo numeral más el sufijo ‑edro. La siguiente lista muestra varios ejemplos.

El prefijo numeral que forma parte de estos nombres se puede dividir en otros prefijos más específicos, los cuales describen cada dígito del número de caras del poliedro, y en el mismo orden en que aparecen (excepto cuando hay un 1 en la posición de las decenas; caso en el que se intercambia de lugar el prefijo de las decenas con el de las unidades).

Los prefijos que describen cada dígito pueden a su vez estar compuestos por otros dos prefijos, donde el primero indica cuál es el dígito que describe (es decir, si es un 1, un 2, etc.) y el segundo cuál es la posición del dígito (decenas, centenas, etc.), aunque en algunos casos el dígito es descrito con solo un prefijo de estos:

La siguiente tabla muestra los distintos prefijos de dígito y de posición. Dependiendo de la posición del dígito correspondiente, los prefijos que se usan varían.

Un poliedro regular es aquel que tiene caras y vértices iguales, por ejemplo un cubo (también llamado hexaedro regular). El cubo posee seis polígonos regulares como caras, estos a su vez se unen en vértices, habiendo tres cuadrados en cada vértice. Existen cinco poliedros regulares convexos más 4 estelaciones, sumando 9 en total.

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existen cinco sólidos platónicos.

Los sólidos de Kepler-Poinsot o sólidos de Kepler son poliedros regulares, de tamaño finito, y a diferencia de los sólidos platónicos, no son convexos. Solo hay cuatro de ellos, y se obtienen como estelaciones del dodecaedro o del icosaedro.

Se dice que un poliedro irregular es aquel que tiene desigualdades entre sus caras, aristas o vértices.

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos y uniformes, pero no transitivos de caras. La familia infinita de los poliedros prismáticos no se considera como parte de los sólidos arquimedianos. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Solo hay trece sólidos arquimedianos.

El resto de poliedros convexos y uniformes consiste de prismas y antiprismas, los cuales en conjunto llevan el nombre de poliedros prismáticos. Estos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Las familias de los prismas y antiprismas son ambas infinitas.

Todos los prismas uniformes se construyen con dos caras paralelas llamadas bases, directrices o caras directrices, y una serie de cuadrados, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres cuadrados; tiene seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos cuadrados y un triángulo.

Los antiprismas también contienen dos directrices, pero en este caso van unidas por triángulos isósceles, donde la base de cada triángulo va unida a una arista de una de las bases del antiprisma, y el vértice del mismo triángulo va unido a un vértice de la otra base.

Los sólidos de Johnson son un grupo extenso que contiene al resto de los poliedros convexos de caras regulares. Solo uno de ellos tiene la misma configuración en todos sus vértices (pero no es transitivo de vértices) y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson. Los sólidos de Johnson son en total 92.

Los poliedros estrellados uniformes son una familia de poliedros no convexos, isogonales y de caras regulares. Contiene dos familias infinitas, los prismas estrellados y los antiprismas estrellados, más otros 57 poliedros, 4 de los cuales son los sólidos de Kepler-Poinsot.

Corresponden a los duales de los sólidos de Arquímedes (el dual es básicamente el reemplazo de las caras por vértices y viceversa, de manera que las uniones entre los vértices del dual coincidan con las uniones entre las caras del poliedro original). Por ejemplo, el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices), y viceversa. Los sólidos de Catalan son isoedrales pero no de caras regulares.

Se llama deltaedros a los cuerpos que solo están formados por triángulos equiláteros. Solo hay ocho deltaedros. Del grupo de los sólidos platónicos se encuentran el tetraedro, el octaedro y el icosaedro; y del grupo de los sólidos de Johnson están la bipirámide triangular, la bipirámide pentagonal, la bipirámide cuadrada giroelongada, el biesfenoide romo y el prisma triangular triaumentado.

Los trapezoedros son los duales de los antiprismas.

Se puede incluir como poliedros a aquellos que tienen una cantidad infinita de caras, llamados apeiroedros, entre los que destacan algunas familias:

También se puede extender el concepto de poliedro hacia espacios no euclidianos: