Potencial culombiano

La ley de Coulomb, nombrada en reconocimiento del físico francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), que enunció en 1785 y forma la base de la electrostática, puede expresarse como:

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con las que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario.

La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas.

Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas o positivas.

En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.

Dichas mediciones permitieron determinar que:

en consecuencia:

Asociando ambas relaciones:

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:

donde para el sistema internacional de unidades:

La ley de Coulomb es válida solo en condiciones estacionarias, es decir:

En términos matemáticos, la magnitud ${displaystyle F,!}$ de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales ${displaystyle q_{1},!}$ y ${displaystyle q_{2},!}$ ejerce sobre la otra separadas por una distancia ${displaystyle d,!}$ se expresa como:

${displaystyle {vec {F}}={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}{frac {qQ_{1}}{|R-r_{1}|^{2}}}{hat {u_{r}}},}$

Dadas dos cargas puntuales ${displaystyle q_{1},!}$ y ${displaystyle q_{2},!}$ separadas una distancia ${displaystyle d,!}$ en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:

${displaystyle F=kappa {frac {q_{1}q_{2}}{d^{2}}},}$

La ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

${displaystyle mathbf {F} _{12}={frac {1}{4pi varepsilon }}{frac {q_{1}q_{2}}{d^{2}}}mathbf {u} _{d}={frac {1}{4pi varepsilon }}{frac {q_{1}q_{2}mathbf {r} _{12}}{|mathbf {r} _{12}|^{3}}},}$

donde ${displaystyle mathbf {u} _{d}}$ es un vector unitario (que va de la carga 1 a la carga 2), siendo su dirección desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta; ${displaystyle mathbf {r} _{12}}$ es el vector de separación entre las cargas. Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas ${displaystyle q_{1}}$ o ${displaystyle q_{2}}$, según sean estas positivas o negativas.

El exponente de la distancia, de la ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma ${displaystyle (2+delta ),!}$, entonces ${displaystyle left|delta ight|<10^{-16},!}$.

Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre ${displaystyle scriptstyle q_{1}}$ y ${displaystyle scriptstyle q_{2}}$. La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.

La constante ${displaystyle kappa ,!}$ es la constante de Coulomb y su valor para unidades SI es ${displaystyle scriptstyle 1/(4pi varepsilon ),}$ Nm²/C².

A su vez la constante ${displaystyle varepsilon =varepsilon _{r}varepsilon _{0},!}$ donde ${displaystyle varepsilon _{r},!}$ es la permitividad relativa, ${displaystyle varepsilon _{r}geq 1,!}$, y ${displaystyle varepsilon _{0}=8,85 imes 10^{-12},!}$ F/m es la permitividad del vacío. Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material. La ecuación de la ley de Coulomb queda finalmente expresada de la siguiente manera:

${displaystyle F=kappa {frac {left|q_{1} ight|left|q_{2} ight|}{r^{2}}},!}$

La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en culombios es la siguiente ${displaystyle scriptstyle K=9cdot 10^{9}mathrm {Ncdot m^{2}/C^{2}} }$ y su resultado será en sistema MKS (${displaystyle scriptstyle N/C}$). En cambio, si la unidad de las cargas están en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma ${displaystyle scriptstyle K=mathrm {dyncdot cm^{2}/ues} ^{2}(q)}$ y su resultado estará en las unidades CGS (${displaystyle scriptstyle D/UES(q)}$).

La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce en todo el espacio la aparición de un campo de fuerzas que decae según la ley de la inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a varias cargas eléctricas puntuales estáticas puede usarse el principio de superposición dada la adictividad de las fuerzas sobre una partícula. Sin embargo, matemáticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar a ser complicado, por lo que frecuentemente resulta más sencillo definir un potencial eléctrico. Para ello a una carga puntual ${displaystyle scriptstyle q_{1}}$ se le asigna una función escalar o potencial de Coulomb ${displaystyle scriptstyle phi _{1}}$ tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:

${displaystyle mathbf {F} _{12}=q_{2}{oldsymbol { abla }}phi _{1}}$

De la ley de Coulomb se deduce que la función escalar que satisface la anterior ecuación es:

${displaystyle phi _{1}(mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {q_{1}}{|mathbf {r} -mathbf {r} _{q_{1}}|}}}$

donde:

${displaystyle phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi epsilon }}int _{V}{frac { ho (mathbf {r} ')}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}d^{3}mathbf {r} '}$

Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo. Considérense dos pequeñas esferas de masa «m» cargadas con cargas iguales, del mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura adjunta. Sobre cada esfera actúan tres fuerzas con un apoyo: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas ${displaystyle F_{1},!}$. En el equilibrio:

(1)${displaystyle T sin heta _{1}=F_{1},!}$

y también:

(2)${displaystyle T cos heta _{1}=mg,!}$

Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene:

${displaystyle {frac {sin heta _{1}}{cos heta _{1}}}={frac {F_{1}}{mg}}Rightarrow F_{1}=mg an heta _{1}}$

Siendo ${displaystyle L_{1},!}$ la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza ${displaystyle F_{1},!}$ de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb ${displaystyle scriptstyle F_{1}=q^{2}/(4pi varepsilon _{0}L_{1}^{2})}$ y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:

(3)${displaystyle {frac {q^{2}}{4pi varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg an heta _{1},!}$

Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuación, en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separación será ${displaystyle L_{2}<L_{1},!}$ y la fuerza de repulsíón entre las mismas estará dada por:

${displaystyle F_{2}={frac {{(q/2)}^{2}}{4pi varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}={frac {q^{2}/4}{4pi varepsilon _{0}L_{2}^{2}}},!}$

Por estar en equilibrio, tal como se dedujo más arriba: ${displaystyle F_{2}=mg. an heta _{2},!}$. Y de modo similar se obtiene:

(4)${displaystyle {frac {frac {q^{2}}{4}}{4pi varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg. an heta _{2}}$

Dividiendo (3) entre (4), miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:

(5)${displaystyle {frac {left({cfrac {q^{2}}{4pi varepsilon _{0}L_{1}^{2}}} ight)}{left({cfrac {q^{2}/4}{4pi varepsilon _{0}L_{2}^{2}}} ight)}}={frac {mg an heta _{1}}{mg an heta _{2}}}Longrightarrow 4{left({frac {L_{2}}{L_{1}}} ight)}^{2}={frac { an heta _{1}}{ an heta _{2}}}}$

Midiendo los ángulos ${displaystyle heta _{1},!}$ y ${displaystyle heta _{2},!}$ y las separaciones entre las cargas ${displaystyle L_{1},!}$ y ${displaystyle L_{2},!}$ es posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental. En la práctica, los ángulos pueden resultar difíciles de medir, así que si la longitud de los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ángulos resultarán lo bastante pequeños como para hacer la siguiente aproximación:

${displaystyle an heta approx sin heta ={frac {frac {L}{2}}{l}}={frac {L}{2l}}Longrightarrow {frac { an heta _{1}}{ an heta _{2}}}approx {frac {frac {L_{1}}{2l}}{frac {L_{2}}{2l}}}}$

Con esta aproximación, la relación (5) se transforma en otra mucho más simple:

${displaystyle {frac {frac {L_{1}}{2l}}{frac {L_{2}}{2l}}}approx 4{left({frac {L_{2}}{L_{1}}} ight)}^{2}Longrightarrow ,!}$ ${displaystyle {frac {L_{1}}{L_{2}}}approx 4{left({frac {L_{2}}{L_{1}}} ight)}^{2}Longrightarrow {frac {L_{1}}{L_{2}}}approx {sqrt[{3}]{4}},!}$

De esta forma, la verificación se reduce a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado.

Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria.

La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresándolo matemáticamente:

${displaystyle F=G{frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$

siendo:

A pesar del sorprendente parecido en las expresiones de ambas leyes, se encuentran dos diferencias importantes. La primera es que, en el caso de la gravedad, no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y la fuerza entre las masas siempre es atractiva. La segunda tiene que ver con los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo se analizara cómo actúan ambas entre un protón y un electrón en el átomo de hidrógeno. La separación promedio entre el electrón y el protón es de 5,3·10^-11 m. La carga del electrón y la del protón valen ${displaystyle e^{-}=-1,6 imes 10^{-19}{ ext{C}},!}$ y ${displaystyle p^{+}=1,6 imes 10^{-19}{ ext{C}},!}$ respectivamente y sus masas son ${displaystyle m_{e^{-}}=9,11 imes 10^{-31}{ ext{kg}},!}$ y ${displaystyle m_{p^{+}}=1,67 imes 10^{-27}{ ext{kg}},!}$. Sustituyendo los datos:

Al comparar resultados se observa que la fuerza eléctrica es unos 39 órdenes de magnitud superior a la fuerza gravitacional. Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo. 1 culombio equivale a la carga que pasa en 1 s por cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de intensidad 1 A constante. En viviendas con tensiones de 220 V_rms, esto equivale a un segundo de una bombilla de 220 W (120 W para las instalaciones domésticas de 120 V_rms).

Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una separación de 1 metro, la fuerza de interacción sería:

${displaystyle F_{E}=kappa {frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=8,99 imes 10^{9}{frac {{ ext{Nm}}^{2}}{{ ext{C}}^{2}}}{frac {1 { ext{C}} imes 1 { ext{C}}}{{1 { ext{m}}}^{2}}}=8,99 imes 10^{9} { ext{N}},!}$

o sea, 916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un millón de toneladas (un teragramo). Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada más arriba, se alejarían bajo la influencia de esta enorme fuerza. Si de esta hipotética disposición de cargas resultan fuerzas tan enormes, ¿por qué no se observan despliegues dramáticos debidos a las fuerzas eléctricas? La respuesta general es que en un punto dado de cualquier conductor, nunca hay demasiado alejamiento de la neutralidad eléctrica. La naturaleza nunca acumula un culombio de carga en un punto.

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