Potenciales de Liénard-Wiechert

Los potenciales de Liénard-Wiechert describen campos electromagnéticos de una distribución de cargas en movimiento en términos del potencial vectorial y el potencial escalar. Obtenidas directamente de las ecuaciones de Maxwell, estos potenciales describen completamente y de forma relativista el campo electromagnético variable en el tiempo de una carga puntual en movimiento arbitrario pero sin considerar fenómenos mecano-cuánticos. Se puede obtener a partir de estos potenciales la radiación electromagnética en forma ondulatoria.

Estas expresiones fueron deducidas en parte por Alfred-Marie Liénard en 1898 e independientemente por Emil Wiechert en 1900 y continuadas a principios de 1900. Los potenciales de Liénard-Wiechert son la base de la electrodinámica clásica y pueden ser generalizados de acuerdo a la teoría gauge.

El estudio de la electrodinámica clásica fue el punto de partida de Einstein para la creación de la teoría de la relatividad. El análisis del movimiento y propagación de las ondas electromagnéticas permitió a la relatividad especial una descripción del espacio y el tiempo: La formulación de Liénard-Wiechert es un importante salto para un análisis más complejo del movimiento relativista de las partículas.

La descripción de Liénard–Wiechert funciona para toda distribución de cargas clásica, pero falla al entrar a un nivel cuántico. La mecánica cuántica impone un gran obstáculo a la capacidad de radiación de una partícula. La formulación clásica descrita por estas ecuaciones viola expresamente los fenómenos observados. Por ejemplo, un electrón en un átomo en su estado fundamental no puede emitir radiación. Si el electrón se encuentra en un estado excitado solo podrá emitir radiación a unas ciertas frecuencias. En las últimas décadas del siglo XX la electrodinámica cuántica ayudó a resolver estas deficiencias de la electrodinámica clásica.

La fuerza de una partícula en una posición dada r y un tiempo dado t depende de la posición del resto de las partículas en un tiempo anterior ${displaystyle t_{r}}$ debido a la velocidad finita de la luz a la que viaja la información electromagnética.Por ejemplo, una partícula en la Tierra 've' una partícula cargada en la Luna donde estuvo hace 1.5 segundos y una partícula cargada en el Sol donde estuvo hace 500 segundos. Este tiempo anterior donde ocurre el evento que la partícula en la posición r ve en un tiempo posterior t se denomina tiempo retardado t_r. El tiempo retardado varía con la posición; por ejemplo el tiempo retardado en la Luna es 1.5 segundos anterior al tiempo normal y el tiempo retardado en el Sol es 500 segundos anterior. El tiempo retardado viene dado por:

Donde R es la distancia a la partícula de la fuente del campo en tiempo retardado.

Los Liénard-Wiechert ${displaystyle Phi }$ y A, donde ${displaystyle Phi }$ es el potencial escalar y A es el potencial vectorial, forma una representación potencial de los campos de una carga en movimiento de carga q tal que (en sistema cgs ):

${displaystyle Phi (mathbf {x} ,t)=left({frac {q}{(R-{oldsymbol {eta }}cdot mathbf {R} )}} ight)_{ m {ret}}}$

y

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {x} ,t)=left({frac {q{oldsymbol {eta }}}{(R-{oldsymbol {eta }}cdot mathbf {R} )}} ight)_{ m {ret}}}$

donde ${displaystyle {oldsymbol {eta }}}$ es la velocidad de la carga dividida por c y ${displaystyle mathbf {R} }$ es el vector posición de la carga. El 'ret' enfatiza que estamos considerando solo las soluciones retardadas.

Se pueden calcular los campos eléctrico y magnético de los potenciales usando las definiciones:

${displaystyle mathbf {E} =- abla Phi -{dfrac {partial mathbf {A} }{partial t}}}$

${displaystyle mathbf {B} = abla imes mathbf {A} }$

Los cálculos son no triviales y requieren un cierto número de pasos. La ecuación para un campo eléctrico es:

${displaystyle mathbf {E} (mathbf {x} ,t)=qleft({frac {mathbf {n} -{oldsymbol {eta }}}{gamma ^{2}(1-{oldsymbol {eta }}cdot mathbf {n} )^{3}R^{2}}} ight)_{ m {ret}}+{frac {q}{c}}left({frac {mathbf {n} imes [(mathbf {n} -{oldsymbol {eta }}) imes {oldsymbol {dot {eta }}}]}{(1-{oldsymbol {eta }}cdot mathbf {n} )^{3}R}} ight)_{ m {ret}}}$

y

${displaystyle mathbf {B} =mathbf {n} imes mathbf {E} }$

donde ${displaystyle gamma }$ es el factor de Lorentz y ${displaystyle mathbf {n} }$ es un vector unitario desde la posición retardada de la carga al observador.

El campo magnético puede obtenerse aplicando el rotacional.

La solución para los potenciales escalar y vectorial retardados son (en undidades cgs) de la ecuación de ondas inhomogénea.

${displaystyle varphi (mathbf {r} ,t)=int {{delta left(t'+{{left|mathbf {r} -mathbf {r} ' ight|} over c}-t ight)} over {left|mathbf {r} -mathbf {r} ' ight|}} ho (mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'}$

y

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,t)=int {{delta left(t'+{{left|mathbf {r} -mathbf {r} ' ight|} over c}-t ight)} over {left|mathbf {r} -mathbf {r} ' ight|}}{mathbf {J} (mathbf {r} ',t') over c}d^{3}r'dt'}$

donde

Para una carga puntual que ocupa la posición ${displaystyle mathbf {r} _{0}(t')}$ y viaja a una velocidad ${displaystyle mathbf {v} _{0}(t')}$ las dos densidades anteriores son:

Para derivar el campo eléctromagnético creado por una partícula a partir de su potencial de Liénard-Wiechert hay que aplicar las fórmulas del campo en función del potencial: ${displaystyle mathbf {E} =-{ ilde { abla }}Phi -{dfrac {partial mathbf {A} }{{ ilde {partial }}t}}}$ y ${displaystyle mathbf {B} ={ ilde { abla }} imes mathbf {A} }$ teniendo en cuenta que los potenciales de L-W continenen variables que no son indendientes entre sí, puesto que el vector R es el resultado de restar a la posición destino la posición inicio donde se encontraba la carga en el instante retardado y dicha posición cambiará si cambia el instante retardado, lo cual sucede si cambiamos el instante en que evaluamos el campo o si movemos su posición en la dirección radial.

Podemos reemplazar las variables espacio-temporales ${displaystyle { ilde { abla }}}$ y ${displaystyle { ilde {partial }}t}$ por otras variables independientes de la siguiente manera:

${displaystyle { ilde { abla }}= abla +left({frac {mathbf {R} |eta |}{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }} ight){frac {partial }{partial {hat {eta }}}}+left({frac {mathbf {R} }{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }} ight){frac {partial }{partial tr}}}$

${displaystyle {frac {partial }{{ ilde {partial }}t}}=left({frac {R}{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }} ight)({frac {partial }{partial tr}}-|eta |{frac {partial }{partial {hat {eta }}}})}$

Donde ${displaystyle {frac {partial }{partial {hat {eta }}}}}$ representa la derivada en la dirección de la velocidad de la carga y ${displaystyle {frac {partial }{partial tr}}}$ es la derivada temporal del instante retardado. Hay que tener en cuenta que una variación de posición en el origen es equivalente a una variación de posición en sentido opuesto en destino.

Las siguientes derivadas son útiles paa la obtención del campo electromagnético:

${displaystyle abla left({frac {1}{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }} ight)=-{frac {mathbf {n} -mathbf {eta } }{left(R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} ight)^{2}}}}$

${displaystyle eta {frac {partial }{partial {hat {eta }}}}left({frac {1}{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }} ight)=-{frac {eta cdot mathbf {n} -eta ^{2}}{left(R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} ight)^{2}}}}$

${displaystyle {frac {partial }{partial tr}}left({frac {1}{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }} ight)={frac {mathbf {a} cdot mathbf {R} }{left(R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} ight)^{2}}}}$

${displaystyle {frac {partial }{partial tr}}left({frac {mathbf {eta } }{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }} ight)={frac {mathbf {a} }{R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} }}+{frac {mathbf {a} cdot mathbf {R} }{left(R-mathbf {eta } cdot mathbf {R} ight)^{2}}}}$

Lo anterior nos lleva a los siguientes campos:

${displaystyle mathbf {E} =qleft({frac {mathbf {n} (1-eta ^{2})-mathbf {eta } (1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )}{R^{2}(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{3}}}+{frac {mathbf {n} (mathbf {a} cdot mathbf {n} )}{R(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{3}}}-{frac {mathbf {a} }{R(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{2}}}-{frac {mathbf {eta } (mathbf {a} cdot mathbf {n} )}{R(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{3}}}-{frac {mathbf {eta } ((mathbf {eta } cdot mathbf {n} )-eta ^{2})}{R^{2}(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{3}}} ight)}$

Los dos primeros términos de la fórmula anterior vienen de ${displaystyle -{ ilde { abla }}Phi }$ y los tres siguientes de ${displaystyle -{dfrac {partial mathbf {A} }{{ ilde {partial }}t}}}$, los términos que no dependen de a dan lugar al campo inducido mientras que los que dependen de a dan lugar al campo radiado, para ver la equivalencia con el campo radiado conviene aprovechar la identidad vectorial ${displaystyle A imes B imes C=(Acdot C)B-(Acdot B)C}$.

Por otro lado, el campo magnético puede expresarse como:

${displaystyle mathbf {B} =qleft({frac {mathbf {eta } imes mathbf {n} }{R^{2}(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{2}}}+|eta |(mathbf {eta } imes mathbf {n} ){frac {((mathbf {eta } /|eta |)cdot mathbf {n} -|eta |)}{R^{2}(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{3}}}+{frac {mathbf {a} imes mathbf {n} }{R(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{2}}}+{frac {(mathbf {eta } imes mathbf {n} )(mathbf {a} cdot mathbf {n} )}{R(1-mathbf {eta } cdot mathbf {n} )^{3}}} ight)}$

Los dos primeros términos de la expresión anterior son el campo magnético inducido y los dos siguientes términos que dependen de la aceleración son el campo radiado, puede demostrarse que son equivalentes a ${displaystyle mathbf {n} imes (mathbf {n} imes ((mathbf {n} -mathbf {eta } ) imes mathbf {a} ))}$ si bien dicha demostración es tediosa.

El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si además de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a un observador inercial. Los sistemas de referencia relativistas acelerados se denominan Coordenadas de Rindler. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en movimiento viene dado por:

${displaystyle mathbf {E} ={frac {1}{4pi epsilon }}left[{frac {q(1-{frac {v^{2}}{c^{2}}})}{(r-{frac {mathbf {r} cdot mathbf {v} }{c}})^{3}}}(mathbf {r} -{frac {mathbf {v} }{c}}r)+{frac {q}{c^{2}(r-{frac {mathbf {r} cdot mathbf {v} }{c}})^{3}}}left[mathbf {r} imes left((mathbf {r} -{frac {mathbf {v} }{c}}r) imes {dot {mathbf {v} }} ight) ight] ight]}$

El primer miembro sólo depende de la velocidad y coincide con el campo eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R² y, por tanto, no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la "aceleración retardada" ${displaystyle {dot {mathbf {v} }}}$ y tiene una variación 1/R que representa la intensidad decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que las cargas en movimiento acelerado emiten radiación. La "aceleración retardada" se relaciona con la aceleración convencional mediante:

${displaystyle {dot {mathbf {v} }}={frac {partial mathbf {v} }{partial t'}}={frac {partial mathbf {v} }{partial t}}{frac {partial t}{partial t'}}=mathbf {a} left(1-{frac {mathbf {r} cdot mathbf {v} }{rc}} ight)}$

siendo ${displaystyle {frac {partial mathbf {v} }{partial t'}}}$ la variación de velocidad por unidad de tiempo de la carga medida desde el sistema de referencia inercial del laboratorio. No se debe confundir con la aceleración propia de la carga que sería la variación de velocidad por unidad de tiempo en relación a un sistema inicialmente en reposo con la carga. El término "a" anterior tampoco es la aceleración propia.

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