Problema de Plateau

En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie minimal con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimentó con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la teoría geométrica de la medida.

La generalización del problema de Plateau formulado consiste en lo siguiente:

Se dan dos puntos ${displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$ y ${displaystyle P_{2}(x_{2},y_{2})}$ del plano ${displaystyle xy}$. Sea ${displaystyle x_{1}<;x_{2}}$. Supongamos que ${displaystyle y=y(x)}$ es la ecuación de una curva que une los puntos ${displaystyle P_{1}}$ y ${displaystyle P_{2}}$, es decir,

La curva gira alrededor del eje ${displaystyle x}$ barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función ${displaystyle y(x)}$ para la que la integral

(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos ${displaystyle P_{1}}$ y ${displaystyle P_{2}}$, se denominan catenoides.