Problemas de Landau

Los Problemas de Landau son cuatro conocidos problemas básicos sobre los números primos, que Edmund Landau catalogó como "inabarcables en el estado actual de la ciencia" durante el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos del año 1912.

Los cuatro problemas son los siguientes:

Hasta la fecha, ninguno de estos problemas ha sido resuelto.

El teorema de Vinográdov demuestra la conjetura débil de Goldbach para los n suficientemente grandes. Deshouillers, Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron la conjetura débil de forma condicional bajo la hipótesis generalizada de Riemann.^[1]​ Se sabe que la conjetura débil se cumple para todo n fuera del intervalo ${displaystyle (10^{20},e^{3100}).}$^[1]​^[2]​ Finalmente, a principios de 2013, esta conjetura fue rigurosamente demostrada por el matemático peruano Harald Helfgott, luego de 271 años desde su formulación.

El teorema de Chen demuestra que para todos los n suficientemente grandes, ${displaystyle 2n=p+q}$ donde p es primo y q es primo o semiprimo. Montgomery y Vaughan demostraron que el conjunto excepcional de los números pares que no se pueden expresar como suma de dos primos tenía densidad cero.^[3]​

Goldston, Pintz y Yıldırım demostraron que la diferencia entre dos números primos consecutivos puede ser mucho menor que la diferencia media entre dos primos consecutivos:

Anteriormente, demostraron condicionalmente una versión más débil de la conjetura de los números primos gemelos en la que existen infinitos números primos p tales que ${displaystyle pi (p+20)-pi (p)geq 1}$, bajo la conjetura de Elliott-Halberstam.^[5]​ ${displaystyle pi (x)}$ es la función enumerativa de números primos. La conjetura de los primos gemelos sustituye el 20 de la expresión por 2.

Chen demostró que existen infinitos primos p (que posteriormente se dieron a conocer como números primos de Chen) tales que p+2 es primo o semiprimo.

Basta comprobar que, para cada número primo p, la diferencia con el siguiente número primo es menor que ${displaystyle 2{sqrt {p}}}$. Una tabla de diferencias maximales entre primos consecutivos muestra que la conjetura se verifica hasta 10¹⁸.^[6]​ Un contraejemplo próximo a 10¹⁸ requeriría una diferencia entre un primo y el siguiente cincuenta millones de veces mayor que la diferencia media.

Un resultado de Ingham muestra que existe un número primo entre ${displaystyle n^{3}}$ y ${displaystyle (n+1)^{3}}$ para cada n lo suficientemente grande.^[7]​

El teorema de Friedlander-Iwaniec muestra que hay infinitos números primos de la forma ${displaystyle x^{2}+y^{4}}$. Iwaniec también señaló^[8]​ que existen infinitos números de la forma ${displaystyle n^{2}+1}$ con a lo sumo dos factores primos.