Proceso de Poisson

En estadística y simulación, un proceso de Poisson, también conocido como ley de los sucesos raros, es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene una distribución exponencial con parámetro λ; cada uno de tales tiempos es independiente del resto. Es llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson (1781–1840).

Un proceso Poisson con intensidad (o tasa) ${displaystyle lambda geq 0}$ es un proceso de contar en tiempo continuo ${displaystyle lbrace N_{t},tgeq 0 brace }$, donde ${displaystyle N_{t}}$ es una colección de variables aleatorias con las siguientes propiedades:

1. ${displaystyle N(0)=0,}$.

2. Si ${displaystyle sleq t}$, entonces ${displaystyle N_{s}leq N_{t}}$.

3. Para todo ${displaystyle n>0,}$ y ${displaystyle 0<t_{1}<t_{2}<...<t_{n},}$, las variables aleatorias ${displaystyle N_{t_{1}},N_{t_{2}}-N_{t_{1}},...,N_{t_{n}}-N_{t_{n-1}}}$ son independientes.

4. Para toda ${displaystyle h>0,}$ y ${displaystyle tin mathbb {R} ,^{+},N_{h},}$ y ${displaystyle N_{t+h}-N_{t},}$ tienen la misma distribución.

5. ${displaystyle Plbrace N(h)=1 brace =lambda h+o(h),}$.

6. ${displaystyle Plbrace N(h)geq 2 brace =o(h)}$.

Donde o(h) es una función tal que:

${displaystyle lim _{h o 0}{o(h) over h}=0}$

${displaystyle N_{t}}$ es el número de eventos que se han producido desde el instante cero hasta el instante ${displaystyle t}$. Como en cualquier proceso estocástico, en el instante cero es una variable aleatoria; sin embargo, después del instante ${displaystyle t}$ es un dato.

A partir de la definición, es posible demostrar que:

Una importante aplicación del proceso Poisson se encuentra en la probabilidad de ruina de una compañía aseguradora. El problema fue tratado formalmente por Filip Lundberg en su tesis doctoral en 1903. Posteriormente, Harald Cramér desarrolla las ideas de Lundberg y da lugar a lo que hoy se conoce como el proceso de ruina o modelo de Crámer-Lundberg.

A menudo son más realistas los modelos basados en procesos de Poisson no homogéneos, en los que la tasa de llegadas es una función del parámetro de tiempo, λ(t). Formalmente esto significa que un proceso de Poisson no homogéneo es un proceso de contar que satisface:

1. ${displaystyle N(0)=0}$

2. Los incrementos en intervalos ajenos son independientes.

3. ${displaystyle P(N(t+h)-N(t)=1)=lambda (t)h+o(h)}$

4. ${displaystyle P(N(t+h)-N(t)>1)=o(h)}$

Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el condicionamiento y en una adaptación del método de rechazo.

Para procesos homogéneos hay una densidad media ${displaystyle lambda }$. Eso significa que la media de los sucesos en un intervalo de tiempo ${displaystyle t}$ es ${displaystyle lambda /t}$.

El tiempo entre dos sucesos de un proceso de Poisson con intensidad media ${displaystyle lambda }$ es una variable aleatoria de distribución exponencial con parámetro ${displaystyle lambda }$.

Se pueden modelar muchos fenómenos como un proceso de Poisson. El número de sucesos en un intervalo de tiempo dado es una variable aleatoria de distribución de Poisson donde ${displaystyle lambda }$ es la media de números de sucesos en este intervalo. El tiempo hasta que ocurre el suceso número ${displaystyle k}$ en un proceso de Poisson de intensidad ${displaystyle lambda }$ es una variable aleatoria con distribución gamma o (lo mismo) con distribución de Erlang con ${displaystyle heta =1/lambda }$.

El ejemplo clásico de fenómenos muy bien descritos matemáticamente a través de un proceso Poisson fue el de los fallecimientos a causa de la patada de un caballo en el ejército de Prusia, según lo demostrado por Ladislaus Bortkiewicz en 1898. Este economista y estadístico polaco también analizó los datos de los suicidios infantiles conforme a este modelo.^[1]​^[2]​

El proceso de Poisson también se ha aplicado para los siguientes ejemplos:

Un proceso de Poisson compuesto es un proceso estocástico que combina un proceso de Poisson con otra variable aleatoria independiente, de tal manera que para cada salto discontinuo del proceso de Poisson la otra variable asume un valor real. El modelo es muy usado para modelizar, por ejemplo, una cartera de seguros, en este modelizado las reclamaciones por daños a la aseguradora sigue un proceso de Poisson ordinario, pero la cuantía de la reclamación es una variable aleatoria adicional, de tal manera que el monto de las reclamaciones es un proceso de Poisson compuesto de la forma:

${displaystyle S(t)=sum _{k=1}^{N_{t}}X_{k}}$