Producto de Wallis

En matemáticas, se conoce como producto de Wallis una expresión utilizada para representar el valor de π que fue descubierta por John Wallis en 1655 y que establece que:

${displaystyle prod _{n=1}^{infty }left({frac {2n}{2n-1}}cdot {frac {2n}{2n+1}} ight)={frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}cdots ={frac {pi }{2}}}$

Antes que nada se debe considerar que las raíces de sin(x)/x son ±nπ, donde n = 1, 2, 3.... Entonces, se puede expresar el seno como un producto infinito de factores lineales de sus raíces:

${displaystyle {frac {sin(x)}{x}}=kleft(1-{frac {x}{pi }} ight)left(1+{frac {x}{pi }} ight)left(1-{frac {x}{2pi }} ight)left(1+{frac {x}{2pi }} ight)left(1-{frac {x}{3pi }} ight)left(1+{frac {x}{3pi }} ight)cdots qquad { extrm {donde}}~k~{ extrm {es~una~constante}}}$

Para encontrar la constante k, se toma el límite en ambos lados:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin(x)}{x}}=lim _{x o 0}left(kleft(1-{frac {x}{pi }} ight)left(1+{frac {x}{pi }} ight)left(1-{frac {x}{2pi }} ight)left(1+{frac {x}{2pi }} ight)left(1-{frac {x}{3pi }} ight)left(1+{frac {x}{3pi }} ight)cdots ight)=k}$

Sabiendo que:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin(x)}{x}}=1}$

Se hace k=1. Obtenemos la fórmula de Euler-Wallis para el seno:

${displaystyle {frac {sin(x)}{x}}=left(1-{frac {x}{pi }} ight)left(1+{frac {x}{pi }} ight)left(1-{frac {x}{2pi }} ight)left(1+{frac {x}{2pi }} ight)left(1-{frac {x}{3pi }} ight)left(1+{frac {x}{3pi }} ight)cdots }$

${displaystyle {frac {sin(x)}{x}}=left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}}} ight)left(1-{frac {x^{2}}{4pi ^{2}}} ight)left(1-{frac {x^{2}}{9pi ^{2}}} ight)cdots }$

Haciendo x=π/2, se obtiene:

${displaystyle {frac {1}{pi /2}}=left(1-{frac {1}{2^{2}}} ight)left(1-{frac {1}{4^{2}}} ight)left(1-{frac {1}{6^{2}}} ight)cdots =prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {1}{4n^{2}}} ight)}$

${displaystyle {frac {pi }{2}}=prod _{n=1}^{infty }left({frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}} ight)}$

${displaystyle =prod _{n=1}^{infty }left({frac {2n}{2n-1}}cdot {frac {2n}{2n+1}} ight)={frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdots }$