Producto infinito

El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria o simplemente producto (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Para todos los valores m < n

Si m = n tenemos que:

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto ${displaystyle {mathit {(a_{1}a_{2})a_{3}}},!}$ es el mismo que ${displaystyle {mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})}},!}$ y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier ${displaystyle nin mathbb {N} }$ sin que haya peligro de confusión.

Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n! (n factorial) como sigue:

Se define ${displaystyle 0!=1!=1}$

Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

(Definición por inducción)

(Asociatividad en IR) Luego,

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

Luego,

que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada ${displaystyle {mathit {k}},!}$, ${displaystyle a_{k} eq 0}$. En particular, para ${displaystyle {mathit {k=n}},!}$, ${displaystyle a_{k}=a_{n} eq 0}$. Luego la simplificación es posible y