Programa de Hilbert

En matemáticas, el Programa de Hilbert, formulado por el matemático alemán David Hilbert en la década de 1920, fue una solución propuesta ante la crisis fundacional de las matemáticas, en épocas en que en los primeros intentos por clarificar los fundamentos de la matemática contenían paradojas e inconsistencias. Como solución, Hilbert propuso basarse en todas las teorías existentes para formar un conjunto de axiomas finito y completo, y proveer prueba de que esos axiomas eran consistentes. El alemán propuso que la consistencia de sistemas más complicados, como el análisis real, podrían ser probados en términos de sistemas más simples. Últimamente, la consistencia de toda la matemática puede ser reducida a aritmética básica.

No obstante los teoremas de incompletitud de Gödel, formulados por el matemático austrohúngaro Kurt Gödel, demostraron en 1931 que el programa de Hilbert era inalcanzable. En su primer teorema mostró que cualquier sistema consistente con un conjunto computable de axiomas, capaz de expresar aritmética nunca puede ser completo: es posible construir una afirmación que puede ser demostrada como verdadera, pero no puede ser derivada de las reglas formales del sistema. En su segundo teorema, Gödel mostró que un sistema como aquel no podría probar su propia consistencia, de modo que tampoco puede ser usado para probar la consistencia de nada más fuerte. Esto contradijo la suposición de Hilbert de que un sistema finitista podía ser usado para probar la consistencia de una teoría más fuerte.

El principal objetivo del programa de Hilbert era dotar de fundamentos para todas las matemáticas. En particular esto debía incluir:

Gödel demostró que la mayoría de los objetivos del programa de Hilbert eran imposibles de alcanzar, por lo menos si eran interpretados en la forma más obvia. Su segundo teorema de incompletitud afirmó que cualquier teoría lo suficientemente consistente como para cifrar la suma y multiplicación de enteros, no puede probar su propia consistencia. Esto acaba con la mayor parte del programa de Hilbert:

Muchas de las líneas actuales de investigación sobre lógica matemática, teoría de la demostración y matemática inversa pueden ser vistas como continuaciones naturales del programa original de Hilbert. Gran parte de él puede ser salvado cambiando sus objetivos ligeramente, y con las siguientes modificaciones cierta parte pudo ser exitosamente completada:

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