Programación geométrica

Un programa geométrico es un problema de optimización de la forma

Minimizar ${displaystyle f_{0}(x) }$ tal que

donde ${displaystyle f_{0},dots ,f_{m}}$ son posinomios y ${displaystyle h_{1},dots ,h_{p}}$ son monomios. Hay que subrayar que al hablar de programación geométrica (al contrario que en otras disciplinas), un monomio se define como una función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ con ${displaystyle mathrm {dom} f=mathbb {R} _{++}^{n}}$ definido como

donde ${displaystyle c>0 }$ y ${displaystyle a_{i}in mathbb {R} }$.

Tiene múltiples aplicaciones, como el dimensionamiento de circuitos y la estimación paramétrica vía regresión logística en estadística.

Los programas geométricos no son por regla general problemas de optimización convexa, pero pueden transformarse en ellos mediante un cambio de variables y una transformación de las funciones objetivo y de restricción. Definiendo ${displaystyle y_{i}=log {x_{i}}}$, el monomio ${displaystyle f(x)=cx_{1}^{a_{1}}cdots x_{n}^{a_{n}}mapsto e^{a^{T}y+b}}$, donde ${displaystyle b=log{c}}$. De la misma forma, si ${displaystyle f}$ es el posinomio

${displaystyle f(x)=sum _{k=1}^{K}c_{k}x_{1}^{a_{1k}}cdots x_{n}^{a_{nk}}}$

entonces ${displaystyle f(x)=sum _{k=1}^{K}e^{a_{k}^{T}y+b_{k}}}$, donde ${displaystyle a_{k}=(a_{1k},dots ,a_{nk})}$ y ${displaystyle b_{k}=log {c_{k}}}$. Tras el cambio de variables, el posinomio se convierte en una suma de exponenciales de funciones afines.

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