Punto de inflexión

Un punto de inflexión, en una función matemática, es un punto donde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente.^[1]​ Matemáticamente, la segunda derivada de la función f en el punto de inflexión es cero,^[2]​^[3]​ o no existe.^[4]​

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar los puntos de x que cumplen esta condición. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero.^[5]​ Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.^[6]​^[7]​ Más concretamente:

La ecuación ${displaystyle f(x)=x^{4}+2x}$ no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en ${displaystyle x_{0}=0}$ la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en ${displaystyle x_{0}=0}$ es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que ${displaystyle f}$ tampoco presenta un extremo en ${displaystyle x_{0}}$.

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