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Q-identidad de Vandermonde



En matemáticas, en el campo de la combinatoria, la q-identidad de Vandermonde es una q-análogo de la identitidad de Chu–Vandermonde, que recibe su nombre del matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). Utilizando la notación estándar para los coeficientes q-binomiales, la identidad toma la forma siguiente

Las contribuciones no nulas a esta suma provienen de los valores de j tales que sus q-coeficientes en el lado derecho de la ecuación son distintos de cero, es decir, max(0, km) ≤ j ≤ min(n, k).

Como es típico de las q-analogías, la q-identidad de Vandermonde puede ser reescrita de distintas maneras. En los convenios comunes en aplicaciones de grupos cuánticos, se utiliza un q-coeficiente binomial diferente. Este q-coeficiente binomial, denotado aquí por , se define por

En particular, es el único cambio del q-coeficiente binomial "habitual" por una potencia de q que es simétrica en q y en . El uso de este q-coeficiente binomial, permite que la q-identidad de Vandermonde se pueda escribir en la forma

Al igual que con la (no-q) identidad de Chu-Vandermonde, hay varias posibles demostraciones de la q-identidad de Vandermonde. En la prueba siguiente, se utiliza el teorema q-binomial.

Una prueba estándar de la identidad de Chu-Vandermonde es ampliar el producto de dos maneras diferentes. Stanley,[1]​ demostró que es posible modificar esta prueba para aplicarla también a la q-identidad de Vandermonde. En primer lugar, se observa que el producto

puede ser ampliado por el q-teorema del binomio

Menos obviamente, se puede escribir

y se pueden ampliar los subproductos separadamente utilizando el q-teorema binomial, de lo que resulta

Multiplicando este último producto y combinando términos semejantes resulta

Por último, las potencias iguales de de las dos expresiones producen el resultado deseado.

Este argumento puede también ser expresado en términos de la ampliación del producto de dos maneras diferentes, donde A y B son operadores (por ejemplo, un par de matrices) "q-conmutativos", es decir, que BA = qAB.

 [math.CO]. 




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