Relación de equivalencia

En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.^{[cita requerida]}

Sea ${displaystyle K}$ un conjunto dado no vacío y ${displaystyle {mathcal {R}}}$ una relación binaria definida sobre ${displaystyle K}$. Se dice que ${displaystyle {mathcal {R}}}$ es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

Notación:

En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia ${displaystyle {mathcal {R}}}$ define subconjuntos disjuntos en ${displaystyle K}$ llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento ${displaystyle ain K}$, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con ${displaystyle a}$ definen la clase:

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento ${displaystyle a}$.

Al elemento ${displaystyle a}$ se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si este es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.^{[cita requerida]}

Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se denota como:

Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:

Dada una partición de K, ${displaystyle {A_{i}}_{iin I}}$, podemos definir la siguiente clase de equivalencia:

La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.