Relación de pertenencia

En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto que forma parte de ese conjunto (o familia).

Al escribir ${displaystyle A={1,2,3,4}}$, estamos diciendo que los elementos del conjunto ${displaystyle A}$ son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de ${displaystyle A}$ sería, por ejemplo, ${displaystyle {1,2}}$, el cual es un subconjunto de ${displaystyle A}$.

Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto ${displaystyle B={1,2,{3,4}}}$. Los elementos de ${displaystyle B}$ no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, ${displaystyle B}$ tiene solo tres elementos: 1, 2 y el conjunto ${displaystyle {3,4}}$.

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, ${displaystyle C={{mbox{rojo, verde, azul}}}}$, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.

La relación «es un elemento de», también llamada miembro del conjunto, se denota mediante el símbolo ${displaystyle in }$, y al escribir

estamos diciendo que ${displaystyle x}$ es un elemento de ${displaystyle A}$. Equivalentemente, podemos decir o escribir «${displaystyle x}$ es un miembro de ${displaystyle A}$», «${displaystyle x}$ pertenece a ${displaystyle A}$», «${displaystyle x}$ es en ${displaystyle A}$», «${displaystyle x}$ reside en ${displaystyle A}$», «${displaystyle A}$ incluye ${displaystyle x}$», o «${displaystyle A}$ contiene ${displaystyle x}$». La negación de este símbolo se denota ${displaystyle otin }$.

No obstante lo anterior, los términos «${displaystyle A}$ incluye ${displaystyle x}$» y «${displaystyle A}$ contiene ${displaystyle x}$» son ambiguos, porque algunos autores también los usan para referirse a que «${displaystyle x}$ es un subconjunto de ${displaystyle A}$».^[1]​ El lógico George Boolos es enfático al aclarar que la palabra «contiene» debe usarse solo para pertenencia de elementos, e «incluye» solo para relaciones de subconjuntos.^[2]​

Sean ${displaystyle x}$ un elemento y ${displaystyle A,B}$ conjuntos:

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo ${displaystyle x ot in A}$ es «x no pertenece a A».

El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmente se conoce como el tamaño de un conjunto. Para los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto ${displaystyle A}$ es 4, mientras que la de ${displaystyle B}$ y ${displaystyle C}$ es 3. Un conjunto finito es aquel con un número finito de elementos, mientras que uno infinito, uno con una cantidad infinita de elementos. Los ejemplos de arriba son todos de conjuntos finitos. Un ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de los números naturales, ${displaystyle mathbb {N} ={1,2,3,4ldots }}$.

Usando los conjuntos definidos arriba:

podemos decir que:

No podemos decir respecto al conjunto B, que: