Relación de transmisión

La relación de transmisión (r_t) es una relación entre las velocidades de rotación de dos engranajes conectados entre sí, donde uno de ellos ejerce fuerza sobre el otro. Esta relación se debe a la diferencia de diámetros de las dos ruedas, que implica una diferencia entre las velocidades de rotación de ambos ejes, esto se puede verificar mediante el concepto de velocidad angular.

Al cambiar la relación de transmisión se cambia el par de fuerza aplicado. La relación de transmisión debe elegirse cuidadosamente, de manera que el par del engranaje motor sea capaz de vencer la inercia del engranaje y otras fuerzas externas para comenzar el movimiento, y para que el engranaje sea capaz de soportar un par muy grande sin fallar.

Los motores de combustión tienen un rango útil de velocidades de rotación. Por tanto, es común que se utilice una caja de cambios, en la que se ofrecen distintas relaciones de transmisión, de manera que el par y la velocidad de rotación necesarias se puedan obtener sin que el régimen de giro del motor deba salir de ese rango útil. Esto no es necesario en máquinas de vapor y motores eléctricos, ya que funcionan correctamente a cualquier velocidad de rotación.

Matemáticamente, la relación de transmisión entre dos engranajes circulares con un determinado número de dientes ${displaystyle Z}$ se puede expresar de la siguiente manera:

Donde:

Según la expresión anterior, la velocidad angular transmitida es inversamente proporcional al número de dientes del engranaje al que se transmite la velocidad. Si no existe disipación de calor en la transmisión del movimiento entonces podemos expresar la relación de velocidades angulares equivalente a la relación inversa de momentos:

Si uno de los engranajes es helicoidal y si se pone como entrada en la conversión de la velocidad angular, entonces la velocidad de salida del engranaje circular es ${displaystyle Z_{2}}$ veces más pequeña que la velocidad del engranaje helicoidal. En la fotografía se puede observar el caso de tal conjunto.

Existen trenes epicicloidades donde las relaciones de transmisión se obtienen mediante la fórmula de Willis y en la que intervienen engranajes intercalados en el tren y que tienen un movimiento relativo entre el engranaje conductor y el engranaje conducido. Estos mecanismos son muy comunes en los sistemas de transmisión automática de automóviles.

Dado un engranaje formado por dos ruedas dentadas, llamaremos ${displaystyle E_{1};}$ al primer engranaje y ${displaystyle E_{2};}$ al segundo y en el caso de existir ${displaystyle E_{3},;E_{4};dots ;E_{n}}$ a las demás ruedas dentadas, refiriéndonos a las características de la misma rueda con el mismo subíndice, así los diámetros se denominaran: ${displaystyle d_{1},;d_{2},;d_{3};dots ;d_{n}}$.

En una rueda dentada ${displaystyle E_{i};}$ podemos diferenciar las siguientes características:

Por el cálculo de engranajes sabemos que en una rueda dentada se cumple:

donde:

Para que dos ruedas dentadas engranen, el paso p y el módulo m, tienen que ser los mismos, y no intervienen en el cálculo de la transmisión, sino en el dimensionado del diente del engranaje, por lo que tenemos:

o lo que es lo mismo:

donde m es constante, esta expresión determina la relación entre el diámetro y el número de dientes de un engranaje.

Ejemplo:

Partiendo de:

tenemos:

para los valores dados:

El espacio recorrido por un punto de la circunferencia primitiva cuando la rueda gira n vueltas será la longitud de su circunferencia primitiva por el número de revoluciones:

Dos ruedas que giran sin deslizar recorrerán el mismo espacio:

Así para dos ruedas que engranan, el producto del diámetro de una de ellas por el número de vueltas que da es igual al diámetro de la segunda rueda por su número de revoluciones.

Ejemplo.

Partiendo de:

tendremos que:

Para los valores dados en el problema: tendremos que:

Para relacionar el número de dientes y el número de revoluciones, partimos de la ecuación [1]

y deducimos:

y de la ecuación [2]

de donde deducimos:

que se puede sintetizar en:

Ejemplo:

Partiendo de:

despejamos:

para los valores dados, tenemos:

Cuando la rueda de 12 dientes gira una vuelta, la de 48 dientes gira un cuarto de vuelta.

Sabiendo que las dos ruedas giran sin deslizar, la velocidad tangencial de las dos ruedas será la misma, por lo tanto:

aplicando este criterio a las dos ruedas, tendremos:

El diámetro de una rueda por su velocidad angular es igual al diámetro de la otra rueda por su velocidad angular.

También es cierto que el radio de la rueda por su velocidad angular permanece constante y su valor es la velocidad tangencial:

Ejemplo:

Partimos de la expresión:

de donde despejamos la velocidad angular de la segunda rueda:

Sustituyendo los valores del problema tenemos:

la segunda rueda gira a 40 revoluciones por minuto.

Para calcular la relación entre el número de dientes y la velocidad de rotación, partiremos de las expresiones [1] y [4], con lo que tenemos:

Con lo que se deduce que el producto del número de dientes de una rueda por su velocidad angular es igual al número de dientes de la rueda con la que engrana por su velocidad angular.

Ejemplo:

Partimos de la relación:

de donde despejamos la velocidad de giro de la segunda rueda:

que para los valores del problema resulta:

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