Residuo (análisis complejo)

Se denomina residuo de una función analítica ${displaystyle f(z)}$ en una singularidad aislada ${displaystyle z=z_{0}}$ al número

${displaystyle operatorname {Res} (f,z_{0})={frac {1}{2pi i}}int _{C}f(z)dz}$

donde ${displaystyle C}$ representa una circunferencia centrada en ${displaystyle z_{0}}$, en cuyo interior no hay puntos singulares de la función, salvo ${displaystyle z_{0}}$.

Si ${displaystyle f(z)}$ tiene una singularidad removible en ${displaystyle z_{0}}$, el residuo es ${displaystyle operatorname {Res} (f(z),z_{0})=0}$. Si ${displaystyle f(z)}$ tiene un polo de orden ${displaystyle N}$ en ${displaystyle z_{0}}$, entonces el residuo se puede calcular como:

En particular, si ${displaystyle N=1}$ (polo simple),

Si el punto ${displaystyle z_{0}}$ es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a ${displaystyle z_{0}}$. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente ${displaystyle -1}$.