Serie geométrica

En matemáticas, una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tiene una razón constante entre sus términos sucesivos. Por ejemplo, la serie

es geométrica porque cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por ${displaystyle 1/2}$.

En general, una serie geométrica es escrita como

donde ${displaystyle a}$ es el coeficiente de cada término y ${displaystyle r}$ es la razón entre cada término sucesivo.

Las series geométricas son las series infinitas más simples y pueden ser utilizadas como una introducción básica a las series de Taylor y series de Fourier.

Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.

El comportamiento de los términos depende de la razón común ${displaystyle r}$:

La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.

Para ${displaystyle r eq 1}$, la suma de los primeros ${displaystyle n+1}$ términos de una serie geométrica es:

donde ${displaystyle r}$ es la razón común.

Cuando ${displaystyle a=1}$ entonces la expresión anterior se reduce a

Sea

si multiplicamos ambos lados de la igualdad por ${displaystyle r}$ entonces

realizando ${displaystyle s_{n}-rs_{n}}$

por lo que

como ${displaystyle r eq 1}$ entonces

Dada la serie

La razón común es ${displaystyle r={frac {1}{2}}}$ y el primer término es ${displaystyle a=1}$, por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde ${displaystyle n=0}$, hasta ${displaystyle n=10}$) es:

La serie geométrica real de término inicial ${displaystyle ain mathbb {R} }$ no nulo y de razón ${displaystyle r}$ es convergente si y solo si ${displaystyle |r|<1}$. En tal caso, su suma vale:

Notemos que

despejando de la ecuación anterior ${ extstyle sum _{kgeq 0}ar^{k}}$ obtenemos

como ${displaystyle r eq 1}$ entonces

En particular cuando ${displaystyle a=1}$

Dada la serie:

La razón de esta serie es ${ extstyle r={frac {2}{3}}<1}$, por el resultado anterior

por lo que ${displaystyle s=3 }$.