Sigma-álgebra

En matemática, una ${displaystyle sigma }$-álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto ${displaystyle X}$ es una familia ${displaystyle Sigma }$ no vacía de subconjuntos de ${displaystyle X}$, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en ${displaystyle X}$. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.

(σ-álgebra) Una familia de subconjuntos de X, representada por Σ, es una σ-álgebra sobre X cuando se cumplen las siguientes propiedades:

Una σ-álgebra debe contener también al conjunto total X, ya que la segunda propiedad aplicada a ${displaystyle E=varnothing }$ tiene como consecuencia que ${displaystyle Xsetminus E=Xsetminus varnothing =X}$ pertenece a la σ-álgebra.

La aplicación de las leyes de De Morgan

${displaystyle {overline {igcap _{iin I}A_{i}}}=igcup _{iin I}{overline {A_{i}}},qquad {overline {igcup _{iin I}A_{i}}}=igcap _{iin I}{overline {A_{i}}}}$

establecen que las intersecciones contables de sucesiones de conjuntos en la σ-álgebra también pertenecen a la σ-álgebra.

Los elementos de una σ-álgebra Σ se denominan conjuntos Σ-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre ${displaystyle Sigma }$). Un par ordenado (X, Σ), donde X es un conjunto y Σ una σ-álgebra sobre este, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, Σ) y (Y, Ω) son dos espacios medibles, una función f:X→Y es medible si para todo E ${displaystyle in Omega }$, f⁻¹(E) ${displaystyle in Sigma }$.

Una medida es una cierta clase de función medible de una σ-álgebra en el intervalo [0,∞].

Ejemplos:

${displaystyle f { ext{medible}}Leftrightarrow forall Bin {mathcal {M}}_{2} ightarrow f^{-1}(B)in {mathcal {M}}_{1}}$