Simetrización y antisimetrización

La simetrización y antisimetrización de un tensor son operaciones que a partir de un tensor producen un tensor del mismo tipo, pero con cierta simetría añadida en un conjunto escogido de índices.

El tensor resultante suele nombrarse del mismo modo que el tensor original, salvo por el uso de paréntesis para denotar al conjunto de índices simetrizados o de corchetes para el conjunto de índices antisimetrizados. Por ejemplo, la simetrización del tensor ${displaystyle T_{ij}}$ en todos sus índices es el tensor simétrico ${displaystyle scriptstyle T_{(ij)}={1 over 2}left(T_{ij}+T_{ji} ight)}$, mientras que su antisimetrización sería el tensor antisimétrico ${displaystyle scriptstyle T_{[ij]}={1 over 2}left(T_{ij}-T_{ji} ight)}$.

Se define la operación de simetrización sobre k índices del mismo tipo (todos covariantes o todos contravariantes) de un tensor cualquiera según la fórmula:

Observamos cómo la suma se extiende a todas las permutaciones de los índices que aparecen rodeados por paréntesis. ${displaystyle sigma (m_{1}ldots m_{k})}$ . Por ejemplo:

Del mismo modo se define la antisimetrización en k índices del mismo tipo como:

De nuevo la suma recorre todas las posibles permutaciones de los índices antisimetrizados, pero ahora el factor ${displaystyle operatorname {sgn} sigma }$ tiene en cuenta la paridad de la permutación.

Ejemplos:

Los anteriores resultados siguen siendo válidos si intercambiamos los papeles de simetrización y antisimetrización.

Algunos autores no incluyen el factor ${displaystyle {frac {1}{k!}}}$ en las definiciones anteriores, esto obliga a corregir otras fórmulas. En este caso, se perdería la propiedad de que la simetrización de un tensor simétrico coincida con él mismo.