Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Sea ${displaystyle V_{}^{}}$ un espacio vectorial sobre ${displaystyle K_{}^{}}$ y ${displaystyle Usubset V}$ no vacío, ${displaystyle U_{}^{}}$ es un subespacio vectorial de ${displaystyle V_{}^{}}$ si:

ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.

Notaciones

Dado ${displaystyle F,}$ un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje ${displaystyle F+Fsubset F}$, e incluso ${displaystyle F+F=F}$ es correcto.

Para ii) el abuso de lenguaje ${displaystyle lambda Fsubset F}$, e incluso ${displaystyle lambda F=F,;;forall lambda in K-{0}}$ es correcto.

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector ${displaystyle rv+sw}$ es también un elemento de U.

Dado el espacio vectorial ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, sus elementos son del tipo ${displaystyle (a,b)in mathbb {R} ^{2}}$.

${displaystyle {vec {0}},u}$ y ${displaystyle lambda u}$ están alineados, ${displaystyle forall uin mathbb {R} ^{2}}$, ${displaystyle forall lambda in K.}$

${displaystyle {vec {0}},u,v}$ y ${displaystyle u+v}$ forman un paralelogramo si no están alineados, ${displaystyle forall u,vin mathbb {R} ^{2}.}$

Suma de 3 elementos.

El subconjunto

${displaystyle U={(a,b):a+b=0}}$.

es un subespacio vectorial.

como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.

El subconjunto

${displaystyle C={(a,b):b=a^{2}}}$

no es un subespacio vectorial.

El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².

Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:

Sea ${displaystyle (V,+,K,*)}$ un espacio vectorial; ${displaystyle (S,+,K,*)}$ y ${displaystyle (W,+,K,*)}$ subespacios vectoriales de ${displaystyle V}$, se definen las siguientes operaciones:

${displaystyle Scup W=left{mathbf {v} in Vcolon mathbf {v} in S { ext{o}} mathbf {v} in W ight}}$
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

${displaystyle Scap W=left{mathbf {v} in Vcolon mathbf {v} in S { ext{y}} mathbf {v} in W ight}}$
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

${displaystyle S+W=left{mathbf {v} in Vcolon mathbf {v} =(mathbf {u_{1}} +mathbf {u_{2}} )wedge mathbf {u_{1}} in Swedge mathbf {u_{2}} in W ight}}$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".^[1]​
Es decir que si ${displaystyle Scap W=left{{vec {0}} ight}Rightarrow Soplus W}$
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Se dice que los subespacios ${displaystyle S}$ y ${displaystyle W}$son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial ${displaystyle V}$:

${displaystyle Soplus W=;V;leftrightarrow ;{egin{cases}S+W=;V\Scap W=leftlbrace {overset { ightarrow }{0}} ight brace end{cases}}}$

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios ${displaystyle S}$ y ${displaystyle W}$ será igual a la dimensión del subespacio ${displaystyle S}$ más la dimensión del subespacio ${displaystyle W}$ menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

${displaystyle dim(S+W)=dim(S)+dim(W)-dim(Scap W)}$

Por ejemplo, siendo ${displaystyle dim(S)=3}$ y ${displaystyle dim(W)=2}$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, ${displaystyle dim(S+W)=4}$.

En el caso particular de la suma directa, como ${displaystyle Scap W=left{{vec {0}} ight}Rightarrow dim(Scap W)=0}$.
La fórmula de Grassmann resulta:

${displaystyle dim(Soplus W)=dim(S)+dim(W)}$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría ${displaystyle dim(Soplus W)=5}$.